Seandainya memiliki distribusi beta, Beta dan mengikuti chi-squared dengan derajat. Selain itu, kami menganggap itu dan independen.
Apa distribusi produk .
Perbarui
Upaya saya:
Apakah itu benar? jika ya, bagaimana kita menyebut distribusi ini?
Seandainya memiliki distribusi beta, Beta dan mengikuti chi-squared dengan derajat. Selain itu, kami menganggap itu dan independen.
Apa distribusi produk .
Perbarui
Upaya saya:
Apakah itu benar? jika ya, bagaimana kita menyebut distribusi ini?
Jawaban:
Setelah beberapa komentar yang berharga, saya dapat menemukan solusinya:
Kita punyafX( x ) =1B ( 1 , K- 1 )( 1 - x)K−2 dan fY(y)=12KΓ(K)yK−1e−y/2 .
Kami juga punya0≤x≤1 . Jadi, jikax=zy , kita mendapatkan 0≤zy≤1 yang menyiratkan itu z≤y≤∞ .
Karenanya:
BegituZ mengikuti distribusi parameter eksponensial 12 ; atau yang setara,Z∼χ22 .
sumber
Ada solusi statistik yang menyenangkan dan alami untuk masalah ini untuk nilai integralK , menunjukkan bahwa produk tersebut memiliki χ2( 2 ) distribusi. Itu hanya bergantung pada hubungan-hubungan yang dikenal dan mudah diketahui di antara fungsi-fungsi variabel normal standar.
KapanK adalah bagian integral, sebuah Beta( 1 , K- 1 ) distribusi muncul sebagai rasio
Apa sajaχ2( n ) distribusi adalah jumlah dari kuadrat dari n independen standar Normal variates. Karena itu,X+ Z didistribusikan sebagai panjang kuadrat dari a 2 + 2 K- 2 = 2 K vektor dengan distribusi multinormal standar di R2 K dan X/ (X+ Z) adalah panjang kuadrat dari dua komponen pertama ketika vektor diproyeksikan secara radial ke unit sphere S2 K- 1 .
Proyeksi multinormal standarn -Vektor ke unit sphere memiliki distribusi seragam karena distribusi multinormal simetris berbentuk bola. (Yaitu, itu tidak tetap di bawah kelompok ortogonal, hasil yang mengikuti segera dari dua fakta sederhana: (a), kelompok ortogonal memperbaiki asal dan menurut definisi tidak mengubah kovarian; dan (b) rerata dan kovarian sepenuhnya menentukan distribusi normal multivariat. Saya menggambarkan ini untuk kasus inin = 3 di https://stats.stackexchange.com/a/7984 ). Bahkan, simetri bola segera menunjukkan distribusi ini bersyarat pada panjang vektor asli. RasioX/ (X+ Z) oleh karena itu tidak tergantung pada panjangnya.
Yang disiratkan oleh semua ini adalah penggandaan ituX/ (X+ Z) oleh yang independen χ2( 2 K) variabel Y membuat variabel dengan distribusi yang sama dengan X/ (X+ Z) dikalikan dengan X+ Z ; kecerdasan, distribusiX , yang memiliki a χ2( 2 ) distribusi.
sumber
Saya sangat mencela taktik yang biasa digunakan untuk menemukan kepadatanZ= g( X, Y) oleh komputasi pertama menghitung kepadatan bersama Z dan
X (atau Y ) karena "mudah" untuk menggunakan Jacobian, dan kemudian mendapatkan
fZ sebagai kepadatan marginal (lih. jawaban Rusty Statistician). Adalah jauh lebih mudah untuk menemukan CDF dariZ langsung dan kemudian bedakan untuk menemukan pdf tersebut. Ini adalah pendekatan yang digunakan di bawah ini.
Sudah terkenal kalauV∼ E x p o n e n t i a l ( λ ) , kemudian P{ V> v } =e- λ v . Karena ituZ= XY memiliki kerapatan eksponensial dengan parameter λ =12 , yang juga merupakan χ2( 2 ) distribusi.
sumber