Koefisien korelasi untuk distribusi seragam pada elips

8

Saat ini saya membaca sebuah makalah yang mengklaim bahwa koefisien korelasi untuk distribusi seragam di bagian dalam elips

fX,Y(x,y)={konstanjika (x,y) di dalam elips0jika tidak

diberikan oleh

ρ=1-(hH)2

di mana dan adalah ketinggian vertikal di pusat dan di ekstrem masing-masing.hH

masukkan deskripsi gambar di sini

Penulis tidak mengungkapkan bagaimana dia mencapai itu dan sebaliknya hanya mengatakan bahwa kita perlu mengubah skala, memutar, menerjemahkan, dan tentu saja mengintegrasikan. Saya sangat ingin menelusuri kembali langkahnya tetapi saya agak bingung dengan semua itu. Karena itu saya akan berterima kasih atas beberapa petunjuk.

Terima kasih sebelumnya.

Oh, dan untuk catatan

Châtillon, Guy. "Balon menentukan estimasi kasar koefisien korelasi." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

Sangat lucu.

JohnK
sumber
2
Bisakah Anda menuliskan ekspresi untuk elips? The "tinggi di ekstrim" tidak masuk akal untuk elips standar: karena memiliki ketinggian di ekstrem. Memang, jika terdistribusi secara seragam pada interior elips standar, maka .
x2Sebuah2+y2b2=1
0(X,Y)ρ=0
Dilip Sarwate
@DilipSarwate Ya, saya mencoba case standar dan menghitung , tidak ada masalah di sana. Bagaimana dengan kasus-kasus lain, di mana Anda perlu mengukur, memutar dll? ρ=0
JohnK
2
Seluruh operasi tampak salah secara fundamental. Bagian "skala perubahan" menghancurkan keseragaman. Distribusi yang benar-benar seragam dicapai baik sebagai distribusi terbatas dalam buffer kurva sempit (Euclidean) atau seragam oleh arclength. Dalam kedua kasus konstanta normalisasi adalah fungsi elips lengkap dan tidak mungkin menyederhanakan ekspresi yang diberikan di sini. Saya tidak yakin apa arti dan , tetapi - sebagai contoh - koefisien korelasi untuk elips dengan sumbu utama dua kali sumbu minor, dimiringkan pada sudut , akan menjadi . hHπ/60,78004
whuber
@whuber saya telah menyertakan gambar dari kertas yang menjelaskan apa yang dan berdiri, saya harap ini membuatnya lebih jelas. hH
JohnK
2
Jika Anda ingin jawaban yang lengkap dan lengkap, maka Anda akan menemukannya di posting saya di stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Lagipula, ketika elips berbentuk lingkaran, seragamnya (jelas) simetris sirkuler, jadi hampir semua yang ada di jawaban itu berlaku langsung. Secara khusus, dengan melihat elips bukan sebagai rotasi elips horisontal, tetapi sebagai transformasi miring, rumus untuk menjadi jelas, karena (menggunakan notasi di bagian "Cara Membuat Elips"). ρ1-ρ2=λ=h/H
whuber

Jawaban:

10

Biarkan didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips mana dan adalah semi- sumbu elips. Kemudian, dan memiliki kepadatan marginal dan mudah untuk melihat bahwa . Juga, (X,Y)

x2Sebuah2+y2b2=1
SebuahbXY
fX(x)=2πSebuah2Sebuah2-x21-Sebuah,Sebuah(x),fX(x)=2πb2b2-y21-b,b(y),
E[X]=E[Y]=0
σX2=E[X2]=2πSebuah2SebuahSebuahx2Sebuah2-x2dx=4πSebuah20Sebuahx2Sebuah2-x2dx=4πSebuah2×Sebuah412Γ(3/2)Γ(3/2)Γ(3)=Sebuah24,
dan demikian pula, . Akhirnya, dan adalah variabel acak tidak berkorelasi .σY2=b24XY

Mari yang merupakan transformasi rotasi yang diterapkan ke . Kemudian, didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips yang kapaknya tidak bertepatan dengan sumbu dan . Tetapi, mudah untuk memverifikasi bahwa dan adalah variabel acak dengan mean nol dan adalah Selanjutnya,

U=Xcosθ-YdosaθV=Xdosaθ+Ycosθ
(X,Y)(U,V)kamuvUV
σU2=Sebuah2cos2θ+b2dosa2θ4σV2=Sebuah2dosa2θ+b2cos2θ4
cov(U,V)=(σX2-σY2)dosaθcosθ=Sebuah2-b28dosa2θ
dari mana kita bisa mendapatkan nilai .ρU,V

Sekarang, elips yang interiornya terdistribusi secara merata memiliki persamaan(U,V)

(kamucosθ+vdosaθ)2Sebuah2+(-kamudosaθ+vcosθ)2b2=1,
yaitu, yang juga dapat dinyatakan sebagai Pengaturan in memberikan . sementara diferensiasi implisit sehubungan dengan memberi
(cos2θSebuah2+dosa2θb2)kamu2+(dosa2θSebuah2+cos2θb2)v2+((1Sebuah2-1b2)dosa2θ)kamuv=1,
(1)σV2kamu2+σU2v2-2ρU,VσUσVkamuv=Sebuah2b24
kamu=0(1)h=SebuahbσU(1)kamu
σV22kamu+σU22vdvdkamu-2ρU,VσUσV(v+kamudvdkamu)=0,
yaitu, garis singgung ke elips adalah horisontal pada dua titik pada elips di mana Nilai dapat diketahui dari ini, dan akan (jika saya tidak melakukan kesalahan dalam melakukan perhitungan di atas) akan mengarah pada hasil yang diinginkan.(1)(kamu,v)
ρU,VσUv=σvkamu.
H
Dilip Sarwate
sumber
Itu adalah matriks rotasi ortogonal yang tepat, terima kasih.
JohnK