Saat ini saya membaca sebuah makalah yang mengklaim bahwa koefisien korelasi untuk distribusi seragam di bagian dalam elips
diberikan oleh
di mana dan adalah ketinggian vertikal di pusat dan di ekstrem masing-masing.
Penulis tidak mengungkapkan bagaimana dia mencapai itu dan sebaliknya hanya mengatakan bahwa kita perlu mengubah skala, memutar, menerjemahkan, dan tentu saja mengintegrasikan. Saya sangat ingin menelusuri kembali langkahnya tetapi saya agak bingung dengan semua itu. Karena itu saya akan berterima kasih atas beberapa petunjuk.
Terima kasih sebelumnya.
Oh, dan untuk catatan
Châtillon, Guy. "Balon menentukan estimasi kasar koefisien korelasi." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60
Sangat lucu.
Jawaban:
Biarkan didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips mana dan adalah semi- sumbu elips. Kemudian, dan memiliki kepadatan marginal dan mudah untuk melihat bahwa . Juga,( X, Y)
Mari yang merupakan transformasi rotasi yang diterapkan ke . Kemudian, didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips yang kapaknya tidak bertepatan dengan sumbu dan . Tetapi, mudah untuk memverifikasi bahwa dan adalah variabel acak dengan mean nol dan adalah Selanjutnya,
Sekarang, elips yang interiornya terdistribusi secara merata memiliki persamaan( U, V)
sumber