Turunan dari Proses Gaussian

Saya percaya bahwa turunan dari proses Gaussian (GP) adalah GP lain, dan jadi saya ingin tahu apakah ada persamaan bentuk tertutup untuk persamaan prediksi turunan dari GP? Secara khusus, saya menggunakan kernel kovarian eksponensial kuadrat (juga disebut Gaussian) dan ingin tahu tentang membuat prediksi tentang turunan dari proses Gaussian.

Apa yang Anda maksud dengan turunan dari GP? apakah Anda secara acak menghasilkan kurva dari BP,

, dan kemudian mengambil turunannya?

x (t)

$x(t)$

Placidia

@Placidia, tidak maksud saya menghitung

, yang saya percaya harus menjadi lain Gaussian proses

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

Pertanyaan bagus. Namun saya ingat bahwa gerakan Brown adalah GP dan tidak dapat dibedakan dari mana pun. Jadi saya tidak yakin mungkin ada ekspresi umum. Tentu saja x (t) -x (th) harus menjadi Gaussian sehingga harus dimungkinkan mengingat fungsi kovarians untuk memikirkan probabilitas tentang hal itu untuk suatu h tertentu.

dugaan

@conjectures, itu sebabnya saya secara khusus mengatakan saya memiliki GP di mana fungsi kernel adalah kuadrat eksponensial (karena saya tahu bahwa satu itu dapat dibedakan tanpa batas) dan benar-benar hanya mencari kasus turunan dalam contoh saya. Tapi poin yang bagus!

Jawaban:

Jawaban singkatnya: Ya, jika Proses Gaussian (GP) Anda dapat dibedakan, turunannya adalah GP lagi. Ini dapat ditangani seperti dokter umum lainnya dan Anda dapat menghitung distribusi prediksi.

Tetapi karena GP dan turunannya terkait erat, Anda dapat menyimpulkan sifat salah satu dari yang lain. $G$ $G'$

Keberadaan $G'$

GP mean nol dengan fungsi kovarians dapat dibedakan (dalam mean square) jika $K$ ada. Dalam hal ini fungsi kovariansama dengan. Jika prosesnya bukan nol-rata-rata, maka fungsi rata-rata perlu dibedakan juga. Dalam hal fungsi rata-rataadalah turunan dari fungsi rata-rata. $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(Untuk lebih jelasnya periksa misalnya Lampiran 10A dari A. Papoulis "Probabilitas, variabel acak dan proses stokastik")

Karena Gaussian Exponential Kernel dapat dibedakan dari pesanan apa pun, ini bukan masalah bagi Anda.

Distribusi prediktif untuk $G'$

$G'$

$G'$ $G$ $G$

$G'$ $G$ $G$ $K'$

gg
sumber

Saya tidak mengerti pertanyaanmu. Ada rumus eksplisit untuk fungsi kovarians dan fungsi rata-rata yang diberikan di atas (dan dalam 9.4 dari Rasmussen / Williams). Karena ini semua yang perlu diketahui dan digunakan dokter umum, apa lagi yang bisa Anda minta?

G^{'}

$G'$

Apakah mungkin Anda mengacaukan fungsi rata-rata dan jalur proses? Perhatikan bahwa fungsi rata-rata lebih halus daripada jalur dan dapat dibedakan meskipun prosesnya tidak. Tetapi fungsi rata-rata adalah fungsi deterministik, bukan proses, sehingga tidak ada varians yang dapat dihitung.

Ini. Lihat Rasmussen dan Williams bagian 9.4 . Juga, beberapa penulis sangat menentang kenrnel eksponensial persegi - itu terlalu halus.

Yair Daon
sumber

Jadi apakah ada distribusi prediksi untuk turunannya?