Dengan dua variabel, Anda mendefinisikan segmen garis di , seperti yang Anda tunjukkan. Namun, karena kendala simpleks, salah satu dari dua variabel ini berlebihan dalam hal menentukan kepadatan, karena ada hubungan satu-ke-satu antara dan . Oleh karena itu, kepadatan ditentukan lebih dari variabel bebas (yaitu, dalam )R2x1x2K- 1R
Ini sebenarnya ditunjukkan pada baris pertama bagian artikel Wikipedia ini, meskipun sangat halus.
Karena itu, fungsi kepadatan Anda menjadi :.
D ir1 , 1(x1, 1 -x1) =Γ ( 2 )Γ ( 1)2(x1)0( 1 -x1)0=1
Karena itu,
∫10Dir1,1(x1,1−x1)dx1= 1
Respon untuk Komentar OP
Karena kendala simpleks, kepadatan Dirichlet dua variabel sebenarnya merosot dalam , seperti yang ditunjukkan oleh konstruksi saya di atas (hanya membutuhkan satu variabel). Meskipun benar ia memiliki kerapatan , ia tidak memiliki kerapatanR211 pada segmen yang terhubung ( 1 , 0 ) dengan ( 0 , 1 ). Apa yang ditunjukkan oleh konstruksi di atas adalah bahwa kepadatan marginal memiliki nilai1. Kebingungan Anda berasal dari pemikiranx2 sebagai variabel bebas, dalam hal ini dukungan Dirichlet aktif R2akan memiliki area yang tidak nol. Intuisi ini baik-baik saja dalam kasus-kasus seperti gaussian bivariat, di mana kedua variabel tidak berkorelasi sempurna, tetapi tidak dalam kasus ini.
Kami dapat memperoleh ini secara resmi sebagai berikut:
Membiarkan L. ada beberapa nomor dalam [ 0 ,2-√] menentukan jarak dari ( 1 , 0 ) untuk ( 0 , 1 )sepanjang segmen jalur penghubung. Dengan demikian, setiap nilaiL. mengidentifikasi yang unik (x1,x2)pasangan. Dengan menggunakan notasi ini, asumsi Anda bahwa kepadatannya adalah1 sepanjang garis ini bermuara ke:
P( L ∈ [ a , b ] ⊂ ) = b - a
Namun, kami dapat menunjukkan ini tidak terjadi melalui perawatan formal dari kepadatan sendi x1,x2:
PL.( L ∈ [ a , b ] ) =PX1,X2[ (x1,x2) ∈SEBUAH[ a , b ]]
Dimana SEBUAH[ a , b ]: = { ( u , v ) : u ∈ [ 1 -b2√, 1 -Sebuah2√] , v = 1 - u ]
Sekarang, mari kita hitung PL.( L ∈ [ a , b ] ):
PL.( L ∈ [ a , b ] ) =∫SEBUAH[ a , b ]dPX1,X2=∫SEBUAH[ a , b ]dPX1dPX2|X1=∫SEBUAH[ a , b ]1dPX1=∫1 -Sebuah2√1 -b2√1dkamu =
( 1 -Sebuah2-√) - ( 1 -b2-√) =12-√( b - a )
Di mana kesetaraan ketiga muncul karena dPX2|X1= 1 untuk X2= 1 -X1 (Yaitu, itu bukan kepadatan, tetapi massa probabilitas titik di 1 -X1)
Seperti yang Anda lihat, kami telah memulihkan 12√ menormalkan konstanta untuk densitas sepanjang segmen garis dalam R2. Secara efektif, kerapatan sambungan ini (degenerasi) hanyalah transformasi linear dari salah satu dari dua marjinal (salah satu akan bekerja). Ini menghasilkan domain dari probabilitas kepadatan untuk pergi1 untuk 2-√, maka kerapatan harus berkurang untuk mengimbangi.