Set variabel tidak berkorelasi tetapi linear tergantung

9

Apakah mungkin untuk memiliki seperangkat variabel yang tidak berkorelasi tetapi bergantung secara linear? $K$

yaitu dan $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Jika ya, bisakah Anda menulis contoh?

EDIT: Dari jawaban berikut bahwa itu tidak mungkin.

Apakah paling tidak mungkin mana adalah estimasi koefisien korelasi yang diperkirakan dari sampel variabel dan adalah variabel yang tidak berkorelasi dengan . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Saya sedang memikirkan sesuatu seperti $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity Donbeo
sumber

11

Seperti yang ditunjukkan oleh jawaban @ RUser4512, variabel acak tidak berkorelasi tidak dapat bergantung secara linear. Tapi, variabel acak yang hampir tidak berkorelasi dapat bergantung secara linear, dan salah satu contohnya adalah sesuatu yang berharga bagi hati ahli statistik.

Misalkan adalah seperangkat variabel acak unit-varians tidak berkorelasi dengan rata-rata umum . Tentukan mana . Kemudian, adalah variabel acak nol-rata sehingga , yaitu mereka bergantung secara linear. Sekarang, sehingga ketika menunjukkan bahwa $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ adalah variabel acak yang hampir tidak berkorelasi dengan koefisien korelasi .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Lihat juga jawaban saya sebelumnya.

Dilip Sarwate
sumber

1

Ini adalah contoh yang sangat bagus!

RUser4512

9

Tidak.

Misalkan salah satu bukan nol. Tanpa kehilangan umum, mari kita asumsikan . $a_i$ $a_1=1$

Untuk , ini menyiratkan dan . Tetapi korelasi ini nol. harus nol juga, bertentangan dengan keberadaan hubungan linier. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

Untuk apa pun , dan . Tapi, menurut hipotesis Anda, . Nilai adalah nol (untuk ) dan karenanya harus . $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

RUser4512
sumber

Dalam kasus vektor gaussian, Anda bahkan memiliki bukti satu baris (yang saya lebih suka simpan sebagai komentar). Korelasi sama dengan 0 menyiratkan independensi. menyiratkan dan Anda selesai.

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

RUser4512

Jawaban yang sangat bagus Alangkah baiknya jika Anda juga bisa menjawab pertanyaan yang diedit.

Donbeo

Pertanyaan yang diedit jauh lebih sulit;) Saya berasumsi bahwa dan merujuk hal yang sama? Saya tidak melihat titik faktor 1 / K, jika Anda mencari korelasi, itu tidak akan mengubah apa pun ke hasil akhir

v

$v$

x_{K}

$x_K$

RUser4512

1 / K yang diperlukan untuk membuat .

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

Donbeo

4

$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

Karl Ove Hufthammer
sumber

Set variabel tidak berkorelasi tetapi linear tergantung

Jawaban: