Apa varian jangka panjangnya?

Ini adalah ukuran kesalahan standar rata-rata sampel ketika ada ketergantungan serial.

Jika $Y_t$ yaitu kovarians stasioner dengan $E(Y_t)=\mu$ dan $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ (! Dalam pengaturan iid, kuantitas ini akan menjadi nol) sehingga $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$ . Kemudian

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$ mana persamaan pertama adalah definisi, yangkedua sedikit lebih sulit untuk dibangundan yang ketiga merupakan konsekuensi dari stasioneritas, yang menyiratkan bahwa

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$ .

Jadi masalahnya memang kurang kemandirian. Untuk melihatnya lebih jelas, tulis varians mean sampel sebagai

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Masalah dengan memperkirakan varian jangka panjang adalah bahwa kami tentu saja tidak mengamati semua autocovariances dengan data yang terbatas. Kernel (dalam ekonometrika, "Newey-Barat" atau penaksir HAC) digunakan untuk tujuan ini,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ adalah kernel atau pembobotan fungsi,

yang autocovariances sampel.

, antara lain harus simetris dan memiliki

adalah parameter bandwidth.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Kernel populer adalah kernel Bartlett

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

Christoph Hanck
sumber

Terima kasih! Saya memeriksa Analisis deret waktu oleh Hamilton. Itu sebenarnya mengatakan bahwa cara non-parametrik untuk memperkirakan spektrum adalah dengan mengambil rata-rata tertimbang dari kovarian sampel tetapi tidak mempelajari matematika di balik penentuan pernyataan ini. Bisakah Anda menyarankan buku referensi atau kertas yang menjelaskan mengapa ini merupakan penduga yang baik ketika ukuran sampel meningkat?

Monolit

Poin yang bagus. Mengedit

Christoph Hanck

Mungkin perlu disebutkan bahwa langkah kedua ("rumit") membutuhkan konvergensi yang didominasi (lihat stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

Tamas Ferenci

@TamasFerenci, terima kasih untuk penunjuknya, saya menyertakan tautannya.

Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, terima kasih, terima kasih atas pembaruannya!

Tamas Ferenci

Apa varian jangka panjangnya?

Jawaban: