Referensi: Ekor dari invers cdf

Saya hampir yakin saya sudah melihat hasil berikut dalam statistik tetapi saya tidak ingat di mana.

Jika $X$ adalah variabel acak positif dan $\mathbb{E}(X)<\infty$ maka $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ ketika $\varepsilon\to 0^+$ , di mana $F$ adalah cdf dari $X$ .

Hal ini mudah untuk melihat secara geometris dengan menggunakan kesetaraan $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ dan dengan mempertimbangkan pemotongan horisontal di $\varepsilon$ daerah di bawah kurva dari integran $1-F$ .

Apakah Anda tahu referensi untuk hasil ini dan apakah itu memiliki nama?

references quantiles cdf moments Stéphane Laurent
sumber

"Lebih umum" adalah aplikasi integrasi langsung oleh bagian-bagian. Itu hampir tidak membutuhkan referensi!

whuber

@whuber Saya meminta referensi tentang hasil pertama juga.

Stéphane Laurent

Anda mungkin telah melihatnya, atau setidaknya sesuatu yang sangat mirip, di stats.stackexchange.com/questions/18438 . Hasil itu disebabkan oleh substitusi dalam integral, yang sekali lagi begitu mendasar orang tidak akan berharap itu telah dicatat dalam literatur atau diberi nama khusus.

whuber

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

Untuk menangani "pekerjaan kecil" yang disarankan oleh Yves dalam komentar, geometri menyarankan bukti yang kuat dan sepenuhnya umum.

Jika Anda suka, Anda dapat mengganti semua referensi ke area dengan integral dan referensi untuk "sewenang-wenang" dengan argumen epsilon-delta yang biasa. Terjemahannya mudah.

$G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

Angka tersebut plot bagian dari . (Perhatikan lompatan dalam grafik: distribusi khusus ini tidak kontinu.) ambang batas besar ditunjukkan dan probabilitas kecil telah dipilih (sehingga ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Kami siap berangkat: nilai yang kami minati, (yang ingin ditunjukkan konvergen) to zero), adalah luas kotak putih dengan tinggi dan basis dari hingga . Mari kita kaitkan area ini dengan ekspektasi , karena satu-satunya asumsi yang tersedia bagi kita adalah bahwa ekspektasi ini ada dan terbatas. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Bagian positif dari ekspektasi adalah area di bawah kurva survival (dari hingga ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Karena harus terbatas (jika tidak harapan itu sendiri tidak akan ada dan terbatas), kita dapat memilih begitu besar sehingga area di bawah antara dan menyumbang semua, atau hampir semua, dari . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Semua bagian sekarang ada di tempatnya: grafik , ambang , tinggi kecil , dan titik akhir kanan menyarankan diseksi ke dalam area yang kami dapat menganalisis: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Saat bergerak ke nol dari atas, area persegi panjang putih dengan basis menyusut ke nol, karena tetap konstan. ( Inilah mengapa diperkenalkan; itu adalah ide kunci untuk demonstrasi ini. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Area biru dapat dibuat sedekat mungkin dengan , dengan memulai dengan besar yang sesuai dan kemudian memilih kecil . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Akibatnya, area yang tersisa - yang jelas tidak lebih besar dari persegi panjang putih dengan basis dari ke - dapat dibuat kecil secara sewenang-wenang. (Dengan kata lain, abaikan saja area merah dan emas.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Dengan demikian, kami telah memecah menjadi dua bagian yang area keduanya konvergen menjadi nol. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Jadi, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

whuber
sumber

Referensi: Ekor dari invers cdf

Jawaban: