Apakah median merupakan properti "metrik" atau "topologis"?

10

Saya minta maaf atas sedikit penyalahgunaan terminologi; Saya harap akan menjadi jelas apa yang saya maksud di bawah ini.

Pertimbangkan variabel acak . Baik mean dan median dapat dikarakteristikkan dengan kriteria optimalitas: Mean adalah angka μ yang meminimalkan , dan median angka yang meminimalkan . Dalam perspektif ini, perbedaan antara mean dan median adalah pilihan "metrik" untuk mengevaluasi penyimpangan, kuadrat atau nilai absolut.XμE ( | X - μ | )E((X-μ)2)E(|X-μ|)

Di sisi lain, median adalah angka yang (dengan asumsi kontinuitas absolut), yaitu definisi ini hanya bergantung pada kemampuan untuk memesan nilai-nilai dan tidak tergantung pada betapa mereka berbeda. Konsekuensi dari ini adalah bahwa untuk setiap fungsi yang meningkat secara ketat , , yang berarti "topologi" dalam arti invarian di bawah transformasi "seperti karet".Pr(X≤μ)=12Xm e d i a n ( f ( X ) ) = f ( m e d i a n ( X ) )f(x)medsayaSebuahn(f(X))=f(medsayaSebuahn(X))

Sekarang saya sudah melakukan matematika dan saya tahu bahwa mulai dari kriteria optimalitas saya dapat sampai di -quantile, jadi keduanya menggambarkan hal yang sama. Tetapi saya masih bingung, karena intuisi saya mengatakan bahwa sesuatu yang bergantung pada "metrik" tidak dapat mengarah pada properti "topologis".12

Bisakah seseorang menyelesaikan teka-teki ini untukku?

mean median A. Donda
sumber
2
Judul yang bagus! :-)
Luis Mendo

Jawaban:

15

Kelemahan dalam penalaran Anda adalah bahwa sesuatu yang bergantung pada metrik tidak dapat menjadi properti topologis.

Ambil kekompakan ruang metrik. Ini dapat didefinisikan dalam istilah metrik: kekompakan berarti bahwa ruang lengkap (tergantung pada metrik) dan benar-benar terikat (tergantung pada metrik). Ternyata, bahwa properti ini adalah invarian di bawah homeomorfisme, dan memang, dapat didefinisikan dalam hal hanya topologi (penutup sampul terbatas dari setiap penutup, dengan cara biasa).

Contoh lain adalah berbagai teori homologi. Hanya homologi tunggal yang benar-benar topologis dalam definisinya. Semua yang lain, simplisial, seluler, De Rham (kohomologi, tapi beri saya sedikit kelonggaran), dll, tergantung pada struktur tambahan, tetapi ternyata setara (dan sedikit lebih mudah untuk dikerjakan).

Ini banyak muncul dalam matematika, kadang-kadang cara termudah untuk mendefinisikan sesuatu adalah dalam hal beberapa struktur tambahan, dan kemudian ditunjukkan bahwa entitas yang dihasilkan, pada kenyataannya, tidak bergantung pada pilihan struktur tambahan sama sekali.

Matthew Drury
sumber
Terima kasih atas jawabannya! Tampaknya Anda menganggap terminologi saya lebih serius daripada yang saya kira mungkin. Saya harus mengakui bahwa saya hanya memiliki pengetahuan paling dasar tentang ruang topologi dan metrik, jadi ini mungkin pertanyaan bodoh: Saya mengerti bahwa menggunakan struktur tambahan membuat hidup lebih mudah meskipun tidak sepenuhnya diperlukan - ok, mungkin itu masalahnya disini juga.
A. Donda
Tetapi Anda juga mengatakan "entitas yang dihasilkan, pada kenyataannya, tidak bergantung pada pilihan struktur tambahan sama sekali". Apakah saya mengerti benar bahwa seseorang dapat menggunakan struktur tambahan yang berbeda untuk sampai pada topologi yang sama persis? Jika ya, maka analoginya rusak di sini, karena menggunakan "metrik kuadrat" saya tidak sampai pada median, tetapi pada rata-rata, yang tidak berubah-ubah di bawah transformasi monotonik.
A. Donda
2
Poin yang bagus. Saya kira apa yang saya katakan adalah, tidak mengherankan ketika sesuatu yang dapat didefinisikan dalam hal struktur tidak dapat didefinisikan dalam hal struktur yang lebih lemah - dan seringkali ketika ini terjadi Anda telah menemukan konsep yang berguna! Dalam kasus Anda, Anda dapat menentukan median dalam hal aritmatika dan integrasi bilangan real, yang merupakan banyak struktur, tetapi pada kenyataannya, ada definisi yang memperdagangkan aritmatika untuk pemesanan, struktur yang lebih lemah. Kasus-kasus saya berada di ujung ekstrim, di mana struktur yang lebih lemah ternyata hampir tidak ada struktur sama sekali.
Matthew Drury
1
Poin lain. Anda bisa mengatakan bahwa alasan transformasi monoton mempertahankan median adalah karena ada cara untuk mendefinisikan mereka dalam hal struktur di mana transformasi monotonik adalah morfisme . Morfisme adalah kata omong kosong abstrak umum yang berarti fungsi yang mempertahankan beberapa struktur .
Matthew Drury
Ok, saya mendapatkan poin umum. Tetapi saya masih merasa ada sesuatu yang tidak dapat dijelaskan, khususnya poin yang disebutkan di atas. Saya membesarkan hati, tetapi karena alasan ini saya tidak akan menerima jawaban Anda - mungkin seseorang memberikan beberapa wawasan tambahan. Terima kasih lagi!
A. Donda