Apa makna intuitif di balik variabel acak yang didefinisikan sebagai "kisi"?

Dalam teori probabilitas, variabel acak non-negatif $X$ disebut kisi jika ada $d \geq 0$ sehingga $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ .

Apakah ada interpretasi geometris mengapa definisi ini disebut kisi?

Ini berarti bahwa $X$ adalah diskrit, dan ada semacam jarak teratur untuk distribusinya; yaitu, massa probabilitas terkonsentrasi pada himpunan titik yang terbatas / dapat dihitung ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Perhatikan bahwa tidak semua distribusi diskrit adalah kisi. Misalnya, jika dapat mengambil nilai { 1 , e , π , 5 } , ini bukan kisi karena tidak ada d sehingga semua nilai dapat dinyatakan sebagai kelipatan d .$X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Terminologi ini menghubungkan variabel acak dengan konsep teori grup yang digunakan untuk mempelajari simetri geometris. Karena itu Anda mungkin menikmati melihat koneksi yang lebih umum, yang akan menerangi makna dan aplikasi potensial dari variabel acak kisi.

Latar Belakang

Dalam matematika, "kisi" adalah subkelompok diskrit dari grup G topologis ( biasanya diasumsikan memiliki covolume terbatas ).$\mathcal{L}$$G$

• "Diskrit" berarti bahwa di sekitar setiap elemen adalah himpunan terbuka O g ⊂ L yang hanya mengandung g itu sendiri: O g ∪ L = { g $g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$ . Ini akan adil untuk memikirkan sebagai pengaturan "berpola" atau "biasa" dari poin dalam G .$\mathcal{L}$$G$

• Grup bekerja pada L dengan "memindahkan titik dalam L di dalam G ," membentuk orbit dari masing-masing. Sebuah domain mendasar dari tindakan ini terdiri dari satu titik di setiap orbit. G dapat dilengkapi dengan ukuran - ukuran Haar - digunakan untuk mengukur ukuran, atau volume , dari Borel subset terukur dari G . Domain fundamental terukur dapat ditemukan. Volumenya adalah covolume dari L . Ketika terbatas, kita dapat menganggap G sebagai ubin oleh domain fundamental ini dan elemen L sebagai memindahkan ubin.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Setiap pasangan dari angka kuda laut ini - di mana satu berada di sisi atas dan yang lainnya terbalik - dapat menjadi domain mendasar untuk kisi yang terlihat secara visual di bidang Euclidean. MC Escher, Kuda Laut (No. 11) .

Variabel acak "kisi" didukung pada kisi di ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Ini berarti bahwa semua kemungkinannya terkandung dalam penutupan kisi. Karena kisi adalah diskrit, maka ia tertutup, sehingga nilai-nilai ada di kisi hampir pasti: Pr ( X $X$ .$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Aplikasi

Kelompok yang tersirat oleh pertanyaan adalah kelompok aditif bilangan real, , dengan topologi biasa (Euclidean). Sebagai subkelompok, kisi L harus menyertakan 0 . Itu saja tidak akan cukup, karena hasil bagi R / { 0 } memiliki volume tak terbatas ("volume" = "panjang" dalam kasus 1D ini). Jadi ada setidaknya satu nol elemen g ∈ L . Semua kekuatan elemen ini juga harus berada dalam subkelompok. Sejak operasi itu adalah tambahan , yang n th kekuatan g adalah n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Oleh karena itu berisi semua kelipatan integral g (termasuk yang negatif).$\mathcal{L}$$g$

Jika ada dua elemen yang tidak memiliki kekuatan satu sama lain, mudah ditunjukkan (menggunakan sedikit teori bilangan) bahwa (1) semua kombinasi n g + m h , untuk n , m ∈ Z , berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan pasangan berurutan ( m , n ) dan (2) kombinasi ini padat dalam R , yang berarti L tidak diskrit. Dari sini mudah untuk menyimpulkan bahwa semua elemen dalam L adalah kekuatan nomor tunggal$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Ini adalahpembangkitdari .$\mathcal{L}$

(Argumen analog menunjukkan bahwa kisi di $(\mathbb{R}^n, {+})$ harus memiliki generator. Generator untuk cat air Escher dapat, katakanlah, terjemahan dari dua unit turun dan terjemahan satu unit turun dan satu unit ke kanan, kira-kira. )$n$

Konsekuensinya, sesuai dengan variabel acak kisi nyata bernilai pada ( R , + ) harus merupakan generator g ≠ $X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$ , di mana

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Definisi dalam pertanyaan karena itu dapat dipahami sebagai variabel kisi non-negatif . Kami mungkin juga ingin menetapkan bahwa , karena jika X didukung pada subkelompok $\Pr(X=0) \lt 1$$X$ yang, memiliki covolume tak terbatas, bukan kisi.$\{0\}$

Generalisasi

Bilangan real positif membentuk kelompok multiplikasi. Kisi pada grup ini adalah dari bentuk L = $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ untuk beberapa g > 0 . (The covolume dari kisi ini adalah | log ( g ) | .) Dengan demikian, setiap variabel acak Y yang$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

dapat dianggap sebagai variabel kisi pada grup ini. Jelas, akan menjadi variabel kisi pada ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$