Probabilitas pasangan nilai yang berurutan

8

Mari X=(x1,x2,...x20) dimana xiN(0,1) dan xi,xj independen ij.

Berapa probabilitas untuk mendapatkan sampel X di mana setidaknya ada dua nilai berturut-turut xi dan xi+1 seperti yang {|xi|>1.5|xi+1|>1.5xixi+1<0 ?

will198
sumber
0? |1.5|=1.5Atau apakah ada kesalahan ketik dalam pertanyaan? Probabilitas dua angka tersebut>1.5 dan produk mereka <0 adalah 0.
Dmitry Rubanovich
dengan xi,xi+1>|1.5| Maksud saya itu xi,xi+1>1.5 atau xi,xi+1<1.5 dan dengan xixi+1<0Maksud saya satu nilai> 0 dan yang lainnya <0. Sebagai contohxi=1.8 dan xi+1=2cocok dengan kedua kondisi.
will198
Kondisi pertama yang seharusnya |xi|,|xi+1|<1.5 dan kondisi kedua adalah itu xixi+1<0
will198
Maka itu salah ketik. Seharusnya dikatakan|xi|,|xi+1|>1.5.
Dmitry Rubanovich
1
Masing-masing dari 20 variabel Anda memiliki peluang sekitar 0,0668 menjadi lebih dari 1,5 dan peluang yang sama berada di bawah -1,5. Ini mengurangi masalah Anda menjadi pertanyaan tentang variabel diskrit (bernilai 3) yang dapat diselesaikan dengan aturan rantai. Harus dimungkinkan untuk memprogram fungsi untuk ini, dengan batas Anda (1,5) dan jumlah variabel berturut-turut (20) sebagai input. Apakah Anda memiliki gagasan tentang R, SAS atau js?
Dirk Horsten

Jawaban:

6

Jalankan rantai Markov.

Biarkan "flip" (pada indeks i) menjadi acara itu Xi1 dan Xi adalah tanda-tanda yang berlawanan dan keduanya melebihi 1.5dalam ukuran. Saat kami memindai seluruh realisasi(Xi) mencari membalik, kita dapat mengeksploitasi simetri dari distribusi Normal standar untuk menggambarkan proses hanya dengan empat negara:

  • The Mulai , sebelumX1 diamati.

  • Nol , dimana1.5Xi11.5.

  • Satu , dimana|Xi1|>1.5.

  • Terbalik , tempat flip terjadii.

Mulai transisi ke status (campuran)

μ=(12p,2p,0)

(sesuai dengan kemungkinan berada di negara bagian ( Nol , Satu , Terbalik )) di mana

p=Pr(X1<1.5)=Pr(X1>1.5)0.0668072.
Karena Start tidak pernah terlihat lagi, jangan repot-repot melacaknya lebih jauh.

Nol transisi menjadi Satu dengan probabilitas (ketika ) dan sebaliknya tetap pada Nol .2p|Xi|>1.5

Satu transisi ke Dibalik dengan probabilitas : ini terjadi ketika dan memiliki tanda kebalikan dari . Ini juga transisi kembali ke One dengan probabilitas ketika dan memiliki tanda yang sama dengan . Kalau tidak, transisi ke Nol .p|Xi|>1.5XiXi1p|Xi|>1.5XiXi1

Membalik adalah keadaan menyerap: sekali di sana, tidak ada yang berubah terlepas dari nilai .Xi

Dengan demikian matriks transisi (mengabaikan Start sementara ) untuk ( Nol , Satu , Terbalik ) oleh karena itu

P=(12p2p012ppp001)

Setelah meninggalkan keadaan awal (dan memasuki keadaan campuran ), transisi akan dilakukan dalam pemindaian untuk flip. Karena itu probabilitas yang diinginkan adalah entri ketiga (terkait dengan Dibalik ) diμ201

μP2010.149045.

Detail Komputasi

Kita tidak perlu melakukan perkalian matriks untuk mendapatkan . Sebagai gantinya, setelah diagonalisasi18P19

P=Q1EQ,

jawaban untuk setiap eksponen (bahkan yang besar) dapat dihitung hanya dengan satu perkalian matriks sebagain

μPn=(μQ1)EnQ

dengan

μQ1=(1,4p2+p+1(27p)p+12(27p)p+1,4p2+p+1+(27p)p+12(27p)p+1),

Q=(001(1+p+7p2+2p+1)(3p1+7p2+2p+1)8p21+p+7p2+2p+12p1(1+p7p2+2p+1)(3p17p2+2p+1)8p21+p7p2+2p+12p1)

dan

En=(1000(12(1p7p2+2p+1))n000(12(1p+7p2+2p+1))n)

Simulasi sejuta-iterasi (menggunakan R) mendukung hasil ini. Outputnya,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

memperkirakan jawabannya sebagai dengan interval kepercayaan yang mencakup .0.1488[0.1477,0.1499]0.149045

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results
whuber
sumber
2
Bagi yang penasaran, teknik yang dieksploitasi Whuber untuk mendapatkan eksponen dari matriks transisi kadang-kadang disebut "Diagonisasi" dalam buku teks aljabar linier elementer.
Sycorax berkata Reinstate Monica