Mari dimana dan independen .
Berapa probabilitas untuk mendapatkan sampel di mana setidaknya ada dua nilai berturut-turut dan seperti yang ?
probability
markov-chain
will198
sumber
sumber
Jawaban:
Jalankan rantai Markov.
Biarkan "flip" (pada indeksi ) menjadi acara itu Xi−1 dan Xi adalah tanda-tanda yang berlawanan dan keduanya melebihi 1.5 dalam ukuran. Saat kami memindai seluruh realisasi(Xi) mencari membalik, kita dapat mengeksploitasi simetri dari distribusi Normal standar untuk menggambarkan proses hanya dengan empat negara:
The Mulai , sebelumX1 diamati.
Nol , dimana−1.5≤Xi−1≤1.5 .
Satu , dimana|Xi−1|>1.5 .
Terbalik , tempat flip terjadii .
Mulai transisi ke status (campuran)
(sesuai dengan kemungkinan berada di negara bagian ( Nol , Satu , Terbalik )) di mana
Nol transisi menjadi Satu dengan probabilitas (ketika ) dan sebaliknya tetap pada Nol .2p |Xi|>1.5
Satu transisi ke Dibalik dengan probabilitas : ini terjadi ketika dan memiliki tanda kebalikan dari . Ini juga transisi kembali ke One dengan probabilitas ketika dan memiliki tanda yang sama dengan . Kalau tidak, transisi ke Nol .p |Xi|>1.5 Xi Xi−1 p |Xi|>1.5 Xi Xi−1
Membalik adalah keadaan menyerap: sekali di sana, tidak ada yang berubah terlepas dari nilai .Xi
Dengan demikian matriks transisi (mengabaikan Start sementara ) untuk ( Nol , Satu , Terbalik ) oleh karena itu
Setelah meninggalkan keadaan awal (dan memasuki keadaan campuran ), transisi akan dilakukan dalam pemindaian untuk flip. Karena itu probabilitas yang diinginkan adalah entri ketiga (terkait dengan Dibalik ) diμ 20−1
Detail Komputasi
Kita tidak perlu melakukan perkalian matriks untuk mendapatkan . Sebagai gantinya, setelah diagonalisasi18 P19
jawaban untuk setiap eksponen (bahkan yang besar) dapat dihitung hanya dengan satu perkalian matriks sebagain
dengan
dan
Simulasi sejuta-iterasi (menggunakan
R
) mendukung hasil ini. Outputnya,memperkirakan jawabannya sebagai dengan interval kepercayaan yang mencakup .0.1488 [0.1477,0.1499] 0.149045
sumber