X, Y adalah id dari N (0,1). Berapa probabilitasnya bahwa X> 2Y

Saya berpikir, karena berasal dari dan mereka independen, maka $X, Y$ $N(0,1)$

$X - 2Y$ memiliki distribusi . Maka memiliki probabilitas . $N(0, 5)$ $X-2Y > 0$ $1/2$

Tampaknya di atas benar bagi saya, meskipun sepertinya akan memiliki probabilitas . Tampaknya agak salah. Apakah saya melakukan kesalahan? $X>nY$ $1/2$

probability normal-distribution Vendetta
sumber

Apa yang agak 'salah' di sana? Apakah Anda berpikir tentang probabilitas kondisional? ( ... itu bukan probabilitas yang dimaksud)

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$

Glen_b -Reinstate Monica

Jika saya mengerti Anda benar hasilnya tampaknya tidak intuitif untuk Anda. Tetapi bahkan dalam kasus jika n adalah Y besar adalah positif dengan probabilitas (dan negatif dengan probabilitas ). Meskipun | X | tidak mungkin lebih besar dari | nY |, probabilitas tanpa nilai absolut adalah reasonalby .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Lan

Jawaban:

Dengan standar normal bivariat (yaitu standar normal iid), probabilitas berbaring di satu sisi garis melalui titik asal adalah tidak peduli apa pun kemiringan garis tersebut. $\frac{_1}{^2}$

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini mengikuti, misalnya, dari simetri rotasi dari distribusi bivariat tentang , karena kita dapat memutar masalah ke salah satu pertimbangan dalam koordinat yang diputar. $O$ $P(X'\gt0)$

Memang, mempertimbangkan penggunaan transformasi affine berarti itu harus lebih umum - argumen akan berlaku untuk setiap bivariat normal di mana kedua varians lebih besar dari 0. $\frac{_1}{^2}$

Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Terima kasih, saya baru saja menemukan kesimpulan saya agak berlawanan dengan intuisi, tetapi diagram Anda membuat semua ini menjadi jelas bagi saya.

Vendetta

Jika dan adalah rata-rata nol variabel acak normal bersama-sama (tidak harus independen), maka adalah variabel acak normal nol-rata dan dengan demikian Independensi dan varians tidak ada hubungannya dengan masalah ini: semua yang diperlukan agar hasil di atas dapat dipertahankan adalah bahwa variabel-variabel tersebut secara bersama - sama normal dan artinya adalah nol. (Pengecualian sepele ketika sama dengan , yaitu, itu adalah variabel acak normal yang merosot alias konstanta yang terjadi ketika dan berkorelasi sempurna dan ).

X

$X$

Y

$Y$

X - a Y

$X-aY$

P {X > a Y} = P {X - a Y > 0} = \frac{1}{2} .

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$

X - a Y

$X-aY$

0

$0$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$

Dilip Sarwate

Terima kasih Dilip, komentar Anda tentu saja sepenuhnya benar - saya mulai dengan kondisi seperti yang diberikan dan berusaha memberikan motivasi untuk hasil yang telah diperoleh OP.

Glen_b -Reinstate Monica