Hampir yakin konvergensi tidak menyiratkan konvergensi lengkap

Kita katakan konvergen sepenuhnya ke jika untuk setiap .X ϵ > 0 ∑ ∞ n = 1 P ( | X n - X | > ϵ ) < $X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Dengan Borel, Cantelli's lemma langsung membuktikan bahwa konvergensi lengkap menyiratkan konvergensi yang hampir pasti.

Saya mencari contoh yang hampir yakin konvergensi tidak dapat dibuktikan dengan Borel Cantelli. Ini adalah, urutan variabel acak yang menyatu hampir pasti tetapi tidak sepenuhnya.

Biarkan dengan Borel sigma-aljabar dan ukuran seragam . MenetapkanF$\Omega=(0,1)$$\mathfrak{F}$$\mu$

dan sebaliknya. The jelas terukur pada ruang probabilitas .X n ( Ω , F , μ $X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Untuk setiap dan semua adalah . Jadi, menurut definisi, urutan konvergen ke (bukan hanya hampir pasti!).N > 1 / ω X n ( ω ) = 0 ( X n ) $\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

Namun, setiap kali , , dari mana$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

yang menyimpang ke .$\infty$