Saya selalu diberi tahu CDF itu unik namun PDF / PMF tidak unik, mengapa begitu? Bisakah Anda memberi contoh di mana PDF / PMF tidak unik?
probability
distributions
pdf
cdf
DKangeyan
sumber
sumber
Jawaban:
Mari kita mengingat beberapa hal. Mari menjadi ruang probabilitas , adalah set sampel kami, adalah kami -algebra, dan adalah fungsi probabilitas didefinisikan pada . Sebuah variabel acak adalah fungsi terukur yaitu untuk setiap Lebesgue terukur bagian di . Jika Anda tidak terbiasa dengan konsep ini maka semua yang saya katakan sesudahnya tidak akan masuk akal.(Ω,A,P) A σ P AΩ A σ P A X - 1 ( S ) ∈ A RX:Ω→R X−1(S)∈A R
Kapan saja kita memiliki variabel acak, , itu menginduksi ukuran probabilitas pada \ mathbb {R} oleh pushforward kategoris. Dengan kata lain, X '(S) = P (X ^ {- 1} (S)) . Sepele untuk memeriksa bahwa X ' adalah ukuran probabilitas pada \ mathbb {R} . Kami menyebutnya X' yang distribusi dari X .X ′ R X ′ ( S ) = P ( X - 1 ( S ) ) X ′ R X ′X:Ω→R X′ R X′(S)=P(X−1(S)) X′ R X′ X
Sekarang terkait dengan konsep ini adalah sesuatu yang disebut fungsi distribusi dari variabel fungsi. Diberikan variabel acakX:Ω→R kita mendefinisikan F(x)=P(X≤x) . Fungsi distribusi F:R→[0,1] memiliki properti berikut:
Jelas variabel acak yang sama memiliki fungsi distribusi dan distribusi yang sama.
Untuk membalikkan proses dan mendapatkan ukuran dengan fungsi distribusi yang diberikan cukup teknis. Katakanlah Anda diberi fungsi distribusi . Tentukan . Anda harus menunjukkan bahwa adalah ukuran pada semi-aljabar interval dari . Setelah itu Anda dapat menerapkan Carathéodory teorema ekstensi untuk memperluas ke ukuran probabilitas pada .F(x) μ(a,b]=F(b)−F(a) μ (a,b] μ R
sumber
Untuk menjawab permintaan contoh dua densitas dengan integral yang sama (yaitu memiliki fungsi distribusi yang sama) pertimbangkan fungsi-fungsi ini didefinisikan pada bilangan real:
lalu;
Mereka sama sekali tidak sama dengan x, tetapi keduanya adalah kepadatan untuk distribusi yang sama, karenanya kepadatan tidak secara unik ditentukan oleh distribusi (kumulatif). Ketika kepadatan dengan domain nyata hanya berbeda pada set nilai x yang dapat dihitung, maka integral akan sama. Analisis matematika tidak benar-benar untuk pingsan hati atau pikiran konkret.
sumber
Saya tidak setuju dengan pernyataan, "fungsi distribusi probabilitas tidak secara unik menentukan ukuran probabilitas", yang Anda katakan dalam pertanyaan pembuka. Itu menentukan secara unik.
Misalkan menjadi dua fungsi massa probabilitas. Jika, ∫ E f 1 = ∫ E f 2 Untuk setiap himpunan terukur E maka f 1 = f 2 hampir di mana-mana. Ini secara unik menentukan pdf (karena dalam analisis kami tidak peduli jika mereka tidak setuju pada serangkaian ukuran nol).f1,f2:R→[0,∞)
Kita dapat menulis ulang integral di atas ke dalam, Di mana g = f 1 - f 2 adalah fungsi yang dapat diintegrasikan.
Tentukan , sehingga ∫ E g = 0 . Kami menggunakan teorema terkenal bahwa jika integral dari fungsi non-negatif adalah nol maka fungsi tersebut hampir nol di mana-mana. Secara khusus, g = 0 ae di E . Jadi f 1 = f 2 ae di E . Sekarang ulangi argumen ke arah lain dengan F = { x ∈ R | g ≤ 0 }E={x∈R | g≥0} ∫Eg=0 g=0 E f1=f2 E F={x∈R | g≤0} . Kita akan mendapatkan bahwa ae di F . Dengan demikian, f 1 = f 2 ae di E ∪ F = R .f1=f2 F f1=f2 E∪F=R
sumber