Yang menyatu lebih cepat, rata-rata atau median?

Jika saya menggambar variabel iid dari N (0,1), akankah rata-rata atau median bertemu lebih cepat? Seberapa cepat?

Untuk lebih spesifik, misalkan menjadi urutan variabel iid yang diambil dari N (0,1). Tentukan , dan menjadi median dari . Yang mana yang menyatu dengan 0 lebih cepat, atau ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Untuk konkret tentang apa artinya konvergen lebih cepat: apakah ada? Jika demikian, apakah itu? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median Josh Brown Kramer
sumber

Apakah Anda bertanya tentang konvergensi probabilitas estimasi titik sehubungan dengan parameter populasi? Atau Anda bertanya tentang konvergensi dalam distribusi variabel acak?

Ryan Simmons

Dengan "konvergen lebih cepat ke 0" maksud Anda "yang memiliki varian asimptotik yang lebih kecil" atau sesuatu yang lain?

Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b Sampai batas tertentu ini dimotivasi oleh masalah nyata: median lebih kuat terhadap outlier, jadi sepertinya median sampel harus konvergen lebih cepat daripada rata-rata saat ukuran sampel bertambah. Saya tidak benar-benar tahu apa cara terbaik untuk mengekspresikan tingkat konvergensi dalam situasi ini. Untuk konkretnya, saya bisa bertanya apakah

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ ada, dan jika ya, apakah itu.

Josh Brown Kramer

Jika data benar-benar diambil sampelnya dari distribusi normal, pencilan sangat jarang - sangat jarang sehingga dampak pada rata-rata meninggalkan rata-rata sampel sebagai perkiraan rata-rata populasi yang paling efisien. Tetapi Anda tidak perlu ekor yang bervariasi untuk membuat median kompetitif. Rasio yang Anda sebutkan memang sekitar 0,63

Glen_b -Reinstate Monica

Mean dan median adalah sama, dalam kasus khusus ini. Diketahui bahwa median adalah 64% efisien sebagai rata-rata, sehingga rata-rata lebih cepat untuk bertemu. Saya dapat menulis lebih detail tetapi wikipedia membahas pertanyaan Anda dengan tepat.

Yair Daon
sumber

Apakah Anda memiliki kutipan?

Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace memberikan distribusi asimptotik untuk mean dan median. Lihat juga bagian tentang ragam median di Wikipedia

Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) referensi utama !!!

Xi'an

@ Glen_b ya itu respon epik, saya tertawa cukup keras. Terima kasih untuk itu!

user541686

@ xi'an maksud Anda menulis bahwa mean dan median adalah jumlah yang sama?

Yair Daon

Yang menyatu lebih cepat, rata-rata atau median?

Jawaban: