Tunjukkan bahwa jika

Saat terjebak dalam hal ini, saya tahu saya mungkin harus menggunakan deviasi rata-rata dari distribusi binomial tapi saya tidak bisa mengetahuinya.

self-study binomial mean expected-value proof thyde
sumber

Hai, selamat datang di CV. Meskipun pertanyaan seperti ini disambut baik, kami memperlakukannya secara berbeda - jika Anda memasukkan lebih banyak informasi ke dalam pertanyaan Anda, Anda bisa mendapatkan petunjuk dan petunjuk. Silakan lihat paragraf yang relevan di halaman bantuannya , dan pedoman di self-study tag wiki . Harap tambahkan self-studytag dan modifikasi pertanyaan Anda seperti yang disarankan (yaitu, tunjukkan apa yang Anda coba, atau setidaknya jelaskan apa yang Anda ketahui tentang harapan dan binomial) dan identifikasi di mana letak kesulitan Anda.

Glen_b -Reinstate Monica

Anda mungkin juga melihat ketidaksetaraan jensen

seanv507

@ seanv507 tentu saja, jika kita menggunakan ketidaksetaraan Jensen, itu melakukannya dalam satu langkah, dan jika thyde telah membahasnya, itu saja yang diperlukan, tetapi dalam hal ini ada bukti yang sangat mendasar yang dapat dijangkau oleh siswa yang hanya mengetahui beberapa sifat yang sangat mendasar dari harapan dan varian.

Glen_b -Reinstate Monica

yang menjadi

, maka pemecahannya kita dapatkan:

. Apakah ini benar?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

thyde

Saya pikir Anda membingungkan diri sendiri dengan Var. cukup gunakan E. Anda harus menunjukkan bahwa

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

seanv507

Jawaban:

Agar utas komentar tidak meledak, saya mengumpulkan petunjuk saya menuju bukti yang sepenuhnya dasar (Anda bisa melakukannya lebih pendek dari ini, tetapi mudah-mudahan ini membuat setiap langkah menjadi intuitif). Saya telah menghapus sebagian besar komentar saya (yang sayangnya membuat komentar tampak agak terputus-putus).

Biarkan . Catatan . Tampilkan . Jika Anda sudah tahu , Anda bisa saja menyatakan , karena bergeser dengan konstanta tidak ada bedanya. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Biarkan . Tulis ketidaksetaraan yang jelas di , perluas dan gunakan hasil sebelumnya. [Anda mungkin ingin sedikit mengatur ulang ini menjadi bukti yang jelas, tetapi saya berusaha memotivasi cara mencapai bukti, bukan hanya bukti akhir.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Hanya itu yang ada untuk itu. Ini 3 atau 4 garis sederhana, menggunakan tidak lebih rumit dari sifat dasar varians dan harapan (satu-satunya cara binomial masuk ke dalamnya sama sekali adalah dalam memberikan bentuk spesifik dan - Anda dapat membuktikan kasus umum bahwa simpangan rata-rata selalu sama mudahnya). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Atau, jika Anda terbiasa dengan ketidaksetaraan Jensen, Anda bisa melakukannya sedikit lebih singkat.]

Sekarang setelah beberapa waktu berlalu, saya akan menguraikan sedikit lebih detail tentang cara mendekatinya:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Perhatikan bahwa varians harus positif. Hasilnya berikut.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber