Biasanya teori probabilitas diajarkan dengan aksioma Kolgomorov. Apakah orang Bayesian juga menerima aksioma Kolmogorov?

Menurut pendapat saya, interpretasi Cox-Jaynes tentang probabilitas memberikan landasan yang kuat untuk probabilitas Bayesian:

• Cox, Richard T. "Probabilitas, frekuensi, dan harapan yang masuk akal." Jurnal fisika Amerika 14.1 (1946): 1-13.
• Jaynes, Edwin T. Teori probabilitas: logika sains. Pers universitas Cambridge, 2003.
• Beck, James L. "Identifikasi sistem Bayesian berdasarkan pada logika probabilitas." Kontrol Struktural dan Pemantauan Kesehatan 17.7 (2010): 825-847.

Aksioma probabilitas yang diturunkan oleh Cox adalah:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): (fungsi negasi)$\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
3. (P3): (fungsi konjungsi)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Aksioma P1-P3 menyiratkan hal berikut (Beck, James L. "Identifikasi sistem Bayesian berdasarkan logika probabilitas." Kontrol Struktural dan Pemantauan Kesehatan 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; b) ; c)Pr [ ¯ b | b ∩ c ] = 0 Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , di mana berarti terkandung dalam , dan berarti setara dengan .Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | c ∩ ( a ⇔ b ) ] a ⇒ b a c a ⇔ b a $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): Dengan asumsi bahwa proposisi menyatakan bahwa satu dan hanya satu dari proposisi benar, maka: b 1 , ... , b $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) Teorema Marjinalisasi:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) Total Teorema Probabilitas:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) Bayes 'Theorem: Untuk :Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | c $k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

Mereka menyiratkan pernyataan logika Kolmogorov, yang dapat dilihat sebagai kasus khusus.

Dalam penafsiran saya tentang sudut pandang Bayesian, segala sesuatu selalu (secara implisit) dikondisikan pada kepercayaan kita dan pada pengetahuan kita.

Perbandingan berikut diambil dari Beck (2010): Identifikasi sistem Bayesian berdasarkan logika probabilitas

Sudut pandang Bayesian

Probabilitas adalah ukuran dari pernyataan yang masuk akal berdasarkan informasi yang ditentukan.

1. Distribusi probabilitas mewakili keadaan pengetahuan yang masuk akal tentang sistem dan fenomena, bukan sifat bawaannya.
2. Probabilitas suatu model adalah ukuran dari kemungkinan masuk akalnya relatif terhadap model lain dalam suatu himpunan.
3. Secara pragmatis mengkuantifikasi ketidakpastian karena informasi yang hilang tanpa klaim bahwa ini disebabkan oleh keacakan sifat bawaan.

Sudut pandang Frequentist

Probabilitas adalah frekuensi relatif dari kejadian peristiwa yang inheren acak dalam jangka panjang .

1. Distribusi probabilitas adalah sifat bawaan dari fenomena acak.
2. Cakupan terbatas, misalnya tidak ada arti untuk probabilitas suatu model.
3. Keacakan yang melekat diasumsikan, tetapi tidak dapat dibuktikan.

Cara menurunkan aksioma Kolmogorov dari aksioma di atas

Dalam berikut ini, bagian 2.2 dari [Beck, James L. "identifikasi sistem Bayesian berdasarkan logika probabilitas." Kontrol Struktural dan Pemantauan Kesehatan 17.7 (2010): 825-847.] Dirangkum:

Berikut ini kami gunakan: probabilitas mengukur pada subset dari himpunan terbatas :A $\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: jika dan terpisah.$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

Untuk mendapatkan (K1-K3) dari aksioma teori probabilitas, [Beck, 2010] memperkenalkan propositon yang menyatakan dan menentukan model probabilitas untuk . [Beck, 2010] selanjutnya memperkenalkan .$\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 menyiratkan K1 dengan dan$b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 mengikuti dari ; P4 (a), dan menyatakan bahwa .$\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 dapat diturunkan dari P6: dan adalah disjoint artinya dan saling eksklusif. Oleh karena itu, K3:$A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

Setelah pengembangan Teori Probabilitas, perlu untuk menunjukkan bahwa konsep yang lebih longgar menjawab nama "probabilitas" yang diukur hingga konsep yang didefinisikan secara ketat yang telah mereka ilhami. Probabilitas Bayesian "Subyektif" dipertimbangkan oleh Ramsey dan de Finetti, yang secara independen menunjukkan bahwa kuantifikasi tingkat kepercayaan tunduk pada kendala keterbandingan & koherensi (keyakinan Anda koheren jika tidak ada yang dapat membuat buku Belanda menentang Anda) harus menjadi sebuah probabilitas.

Perbedaan antara aksioma sebagian besar adalah masalah selera tentang apa yang harus didefinisikan dan apa yang diturunkan. Tetapi aditif yang dapat dihitung adalah salah satu dari Kolmogorov yang tidak berasal dari Cox's atau Finetti's, & telah menjadi kontroversial. Beberapa orang Bayesia (mis. De Finetti & Savage) berhenti pada aditif terbatas & jadi jangan terima semua aksioma Kolmogorov. Mereka dapat menempatkan distribusi probabilitas yang seragam selama interval tanpa batas tanpa ketidakwajaran. Yang lain mengikuti Villegas juga dengan asumsi kesinambungan monoton, & mendapatkan tambahan yang dapat dihitung dari situ.

Ramsey (1926), "Truth and probability", dalam Ramsey (1931), The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays

de Finetti (1931), "Sul signifikansi soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , hlm 298 - 329

Villegas (1964), "Pada probabilitas kualitatif algebras", Ann. Matematika Statist. , 35 , 4.$\sigma$