Menentukan nilai sebenarnya dari pengamatan yang bising

13

Saya memiliki satu set besar titik data dalam bentuk (rata-rata, stdev). Saya ingin mengurangi ini menjadi rata-rata tunggal (lebih baik), dan (mudah-mudahan) standar deviasi yang lebih kecil.

Jelas aku bisa hanya menghitung , namun hal ini tidak mengambil ke account fakta bahwa beberapa titik data secara signifikan lebih akurat daripada yang lain.datameanN

Sederhananya, saya ingin membentuk rata-rata tertimbang dari titik-titik data ini, tetapi tidak tahu apa fungsi bobotnya dalam hal standar deviasi.

Michael
sumber

Jawaban:

24

Anda mencari penduga linier untuk rata-rata formulirμ

μ^=i=1nαixi

di mana adalah bobot dan x i adalah pengamatan. Tujuannya adalah untuk menemukan nilai yang sesuai untuk bobot. Biarkan σ i menjadi benar standar deviasi dari x i , yang mungkin atau mungkin tidak bertepatan dengan perkiraan standar deviasi Anda mungkin memiliki. Anggap pengamatannya tidak bias; yaitu, harapan mereka semua sama dengan μ rata-rata . Dalam hal ini kita dapat menghitung bahwa harapan μ adalahαixiσixsayaμμ^

E[μ^]=saya=1nαsayaE[xsaya]=μsaya=1nαsaya

dan (asalkan tidak berkorelasi) varians dari estimator ini adalahxsaya

Var[μ^]=saya=1nαsaya2σsaya2.

αi1/σi2

μ^=i=1nxi/σi2i=1n1/σi2

dan

Var[μ^]=1i=1n1/σi2=1n(1ni=1n1σi2)1.

Dalam kata kata,

1/n

σi

whuber
sumber
1
dan terkait dengan jawaban ini, juga dari whuber: stats.stackexchange.com/questions/9071/…
Henry
xsaya