Bukti untuk stasioneritas AR (2)

Pertimbangkan proses AR (2) berpusat rata-rata mana adalah proses white noise standar. Demi kesederhanaan, izinkan saya menelepon dan \ phi_ {2} = a . Berfokus pada akar persamaan karakteristik yang saya dapatkan z_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4a}} {2a} Kondisi klasik dalam buku teks adalah sebagai berikut: \ begin { case} | a | <1 \\ a \ pm b <1 \ end {cases} Saya mencoba menyelesaikan secara manual (dengan bantuan Mathematica) ketidaksetaraan pada root, yaitu sistem \ begin {cases} | \ frac { -b- \ sqrt {b ^ 2 + 4a}} {2a} |> 1 \\ | \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 + 4a}} {2a} |> 1 \ end {cases} memperoleh hanya a \ pm b <1

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ $\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ Dapatkah kondisi ketiga ( $|a|<1$ ) pulih dengan menambahkan dua solusi sebelumnya satu sama lain mendapatkan $a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$ yang melalui beberapa pertimbangan tanda menjadi $|a|<1$ ? Atau apakah saya melewatkan solusi?

Dugaan saya adalah bahwa persamaan karakteristik yang Anda gunakan berbeda dengan persamaan saya. Biarkan saya melanjutkan dalam beberapa langkah untuk melihat apakah kami setuju.

Pertimbangkan persamaan

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Jika adalah akar dari persamaan karakteristik "standar" dan pengaturan , tampilan diperoleh dari penulisan ulang yang standar sebagai berikut: Oleh karena itu, kondisi alternatif untuk stabilitas adalah bahwa semua akar tampilan pertama berada di dalam lingkaran unit, .$z$$1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$$z^{-1}=\lambda$

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ $AR(2)$$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$

Kami menggunakan representasi ini untuk memperoleh segitiga stasioneritas dari proses , yaitu stabil jika tiga kondisi berikut terpenuhi: $AR(2)$$AR(2)$

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Ingatlah bahwa Anda dapat menulis akar tampilan pertama (jika nyata) sebagai untuk menemukan dua kondisi pertama.

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$

Kemudian, adalah stasioner iff , maka (jika nyata): Semakin besar keduanya dibatasi oleh , atau: Secara analog, .$AR(2)$$|\lambda|<1$$\lambda_i$

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ $\lambda_i$$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ $\phi_2<1 + \phi_1$

Jika kompleks, maka dan begituModulus kuadrat dari bilangan kompleks adalah kuadrat dari real ditambah kuadrat dari bagian imajiner. Karenanya, Ini stabil jika , maka jika atau , seperti yang akan ditampilkan. (Pembatasan dihasilkan dari adalah redundan mengingat dan .)$\lambda_i$$\phi_1^2<-4\phi_2$

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$$\phi_2^2<1$$\phi_2<1+\phi_1$$\phi_2<1-\phi_1$

Merencanakan segitiga stasioneritas, juga menunjukkan garis yang memisahkan kompleks dari akar nyata, kita dapatkan

Diproduksi dalam R menggunakan

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)