Estimator yang tidak sesuai dengan varian minimum untuk

10

Misalkan menjadi sampel acak dari distribusi untuk . Yaitu,X1,...,XnGeometric(θ)0<θ<1

pθ(x)=θ(1θ)x1I{1,2,...}(x)

Temukan estimator yang tidak bias dengan varians minimum untukg(θ)=1θ

Usaha saya:

Karena distribusi geometrik berasal dari keluarga eksponensial, statistik lengkap dan cukup untuk . Juga, jika adalah penduga untuk , itu tidak bias. Oleh karena itu, oleh teorema Rao-Blackwell dan Teorema Lehmann-Scheffé, adalah estimator yang kami cari.

Xi
θ
T(X)=X1
g(θ)
W(X)=E[X1|Xi]

Kami memiliki yang berikut:

W(X)=i=1tiP(X1=i|Xi=t)=i=1tiP(i2Xi=ti)P(X1=i)P(i1Xi=t)

Karena variabelnya adalah geometri iid, distribusi jumlah keduanya adalah binomial negatif. Tetapi saya memiliki masalah untuk menyederhanakan koefisien binomial dan memberikan jawaban akhir dengan bentuk yang lebih baik, jika memungkinkan. Saya akan senang jika saya bisa mendapatkan bantuan.

Terima kasih!

Sunting: Saya kira kalian tidak mengerti keraguan saya: Kalau saya sudah membuat semua langkah yang benar, mungkin hanya lupa beberapa fungsi indikator. Inilah yang saya lakukan:

...=i=1ti(ti1n2)θni(1θ)tin+1θ(1θ)i1(t1n1)θn(1θ)tn=i=1ti(ti1n2)(t1n1)

Seperti yang saya katakan, saya mengalami masalah untuk menyederhanakan ini dan dengan indeks somatory

Giiovanna
sumber

Jawaban:

4

Memang untuk varian Geometric , , dan teorema Rao-Blackwell menyiratkan bahwa adalah penaksir tidak bias varians minimum yang unik. Tetapi alih-alih mencoba menghitung ekspektasi bersyarat ini secara langsung, kita dapat mengatakan bahwa maka itu Catatan, kebetulan, karenaG(θ)X

Eθ[X]=1/θ=g(θ)
θ^(T)=Eθ[X1|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]==Eθ[Xn|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]=1ni=1nEθ[Xi|i=1nXi=T]=Tn
j2Xj adalah Binomial Negatif maka jumlah akhir harus menjadi Neg(n1,θ)
P(j2Xj=m)=(m1n2)θn1(1θ)mn+1Im>n1
i=1tn+1i(ti1n2)/(t1n1)
Xi'an
sumber