Distribusi bagian yang 'tidak dicampur' berdasarkan urutan campuran

9

Misalkan saya telah memasangkan pengamatan yang ditarik iid sebagai untuk . Misalkan dan dilambangkan dengan yang th nilai yang diamati terbesar . Apa distribusi (bersyarat) ? (atau setara dengan )XiN(0,σx2),YiN(0,σy2),i=1,2,,nZi=Xi+Yi,ZijjZXijYij

Yaitu, apa distribusi bersyarat pada menjadi yang ke- terbesar dari nilai yang diamati dari ?XiZijnZ

Saya menduga bahwa ketika , distribusi menyatu hanya dengan distribusi tanpa syarat , sedangkan sebagai , distribusi konvergen ke distribusi tanpa syarat dari urutan th statistik . Namun di tengah, saya tidak yakin.XijXρXijjXρ=σxσy0XijXρXijjX

shabbychef
sumber
Saya menghapus tag "campuran" karena ini adalah pertanyaan tentang jumlah (atau, yang setara, tentang variabel Normal berkorelasi), bukan tentang campurannya.
whuber
Xi juga dianggap independen dariYi , ya?
kardinal
@ kardinal: ya, mereka independen.
shabbychef
Sebuah pertanyaan baru dan terkait yang muncul di math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…
kardinal
Solusi yang diposting di math.SE secara konseptual identik dengan solusi yang saya berikan di bawah ini - tetapi diformulasikan menggunakan terminologi yang sedikit berbeda.
NRH

Jawaban:

1

Mengamati bahwa variabel acak adalah fungsi dari Z = ( Z 1 , ... , Z n ) saja. Untuk vektor- n , z , kita menulis i j ( z ) untuk indeks koordinat ke- j terbesar. Biarkan juga P z ( A ) = P ( X 1A Z 1 = z ) menunjukkan distribusi bersyarat dari X 1ijZ=(Z1,,Zn)nzij(z)jPz(A)=P(X1AZ1=z)X1diberikan .Z1

Jika kita istirahat probabilitas turun sesuai dengan nilai dan mengalami kehancuran wrt Z kita mendapatkanijZ

P(XijA)=kP(XkA,ij=k)=k(ij(z)=k)P(XkAZ=z)P(Zdz)=k(ij(z)=k)P(XkAZk=zk)P(Zdz)=k(ij(z)=k)Pzk(A)P(Zdz)=Pz(A)P(Zijdz)

Argumen ini cukup umum dan hanya bergantung pada asumsi iid menyatakan, dan bisa menjadi fungsi tertentu ( X k , Y k ) .Zk(Xk,Yk)

Di bawah asumsi distribusi normal (mengambil ) dan Z k menjadi jumlah, distribusi bersyarat dari X 1 diberikan Z 1 = z adalah N ( σ 2 xσy=1ZkX1Z1=z dan @probabilityislogic menunjukkan bagaimana untuk menghitung distribusiZij, maka kita memiliki ekspresi eksplisit untuk kedua distribusi yang masuk dalam integral terakhir di atas. Apakah integral dapat dihitung secara analitis adalah pertanyaan lain. Anda mungkin bisa, tetapi dari atas kepala saya, saya tidak tahu apakah itu mungkin. Untuk analisis asimptotik ketikaσx0atauσxmungkin tidak diperlukan.

N(σx21+σx2z,σx2(1σx21+σx2))
Zijσx0σx

Intuisi di balik perhitungan di atas adalah bahwa ini adalah argumen independensi bersyarat. Mengingat variabel X k dan i j independen.Zk=zXkij

NRH
sumber
1

Distribusi tidak sulit, dan itu diberikan oleh distribusi senyawa Beta-F:Zij

pZij(z)dz=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(zσz)[Φ(zσz)]j1[1Φ(zσz)]njdz

Di mana adalah PDF normal standar, dan Φ ( x ) adalah CDF normal standar, dan σ 2 z = σ 2 y + σ 2 x .ϕ(x)Φ(x)σz2=σy2+σx2

Sekarang jika Anda diberi bahwa , maka X i j adalah fungsi 1-ke-1 dari Z i j , yaitu X i j = Z i j - y . Jadi saya akan berpikir bahwa ini harus menjadi aplikasi sederhana dari aturan jacobian.Yij=yXijZijXij=Zijy

pXij|Yij(x|y)=n!(j1)!(nj)!1σzϕ(x+yσz)[Φ(x+yσz)]j1[1Φ(x+yσz)]njdx

Ini kelihatannya terlalu mudah, tapi saya pikir itu benar. Senang ditunjukkan salah.

probabilityislogic
sumber
Anda salah paham pertanyaannya. Saya mencari distribusi sebagai fungsi dari j , n , σ x , σ y . Saya tidak benar-benar mengamati X i dan Y i , dan tidak dapat mengkondisikannya. Orang mungkin berasumsi, wlog itu σ x = 1 , dan dengan demikian hanya mempertimbangkan parameter j , n , σ y . Xijj,n,σx,σyXiYiσx=1j,n,σy
shabbychef
ok - jadi pada dasarnya Anda harus menghapus dari persamaan ini? (diintegrasikan)y
probabilityislogic
Iya; dan itu tidak terlepas dari Z ...
shabbychef