Misalkan saya telah memasangkan pengamatan yang ditarik iid sebagai untuk . Misalkan dan dilambangkan dengan yang th nilai yang diamati terbesar . Apa distribusi (bersyarat) ? (atau setara dengan )
Yaitu, apa distribusi bersyarat pada menjadi yang ke- terbesar dari nilai yang diamati dari ?
Saya menduga bahwa ketika , distribusi menyatu hanya dengan distribusi tanpa syarat , sedangkan sebagai , distribusi konvergen ke distribusi tanpa syarat dari urutan th statistik . Namun di tengah, saya tidak yakin.XijXρ→∞XijjX
distributions
order-statistics
shrinkage
shabbychef
sumber
sumber
Jawaban:
Mengamati bahwa variabel acak adalah fungsi dari Z = ( Z 1 , ... , Z n ) saja. Untuk vektor- n , z , kita menulis i j ( z ) untuk indeks koordinat ke- j terbesar. Biarkan juga P z ( A ) = P ( X 1 ∈ A ∣ Z 1 = z ) menunjukkan distribusi bersyarat dari X 1ij Z=(Z1,…,Zn) n z sayaj( z ) j Pz( A ) = P( X1∈ A ∣ Z1= z) X1 diberikan .Z1
Jika kita istirahat probabilitas turun sesuai dengan nilai dan mengalami kehancuran wrt Z kita mendapatkansayaj Z
Argumen ini cukup umum dan hanya bergantung pada asumsi iid menyatakan, dan bisa menjadi fungsi tertentu ( X k , Y k ) .Zk ( Xk, Yk)
Di bawah asumsi distribusi normal (mengambil ) dan Z k menjadi jumlah, distribusi bersyarat dari X 1 diberikan Z 1 = z adalah N ( σ 2 xσy= 1 Zk X1 Z1= z
dan @probabilityislogic menunjukkan bagaimana untuk menghitung distribusiZij, maka kita memiliki ekspresi eksplisit untuk kedua distribusi yang masuk dalam integral terakhir di atas. Apakah integral dapat dihitung secara analitis adalah pertanyaan lain. Anda mungkin bisa, tetapi dari atas kepala saya, saya tidak tahu apakah itu mungkin. Untuk analisis asimptotik ketikaσx→0atauσx→∞mungkin tidak diperlukan.
Intuisi di balik perhitungan di atas adalah bahwa ini adalah argumen independensi bersyarat. Mengingat variabel X k dan i j independen.Zk= z Xk sayaj
sumber
Distribusi tidak sulit, dan itu diberikan oleh distribusi senyawa Beta-F:Zsayaj
Di mana adalah PDF normal standar, dan Φ ( x ) adalah CDF normal standar, dan σ 2 z = σ 2 y + σ 2 x .ϕ ( x ) Φ ( x ) σ2z= σ2y+ σ2x
Sekarang jika Anda diberi bahwa , maka X i j adalah fungsi 1-ke-1 dari Z i j , yaitu X i j = Z i j - y . Jadi saya akan berpikir bahwa ini harus menjadi aplikasi sederhana dari aturan jacobian.Ysayaj= y Xsayaj Zsayaj Xij=Zij−y
Ini kelihatannya terlalu mudah, tapi saya pikir itu benar. Senang ditunjukkan salah.
sumber