Solusi untuk masalah ini:
dikenal sebagai median , tetapi seperti apa fungsi kerugian untuk persentil lainnya? Contoh: persentil X ke-25 adalah solusi untuk:
Apa dalam kasus ini?
sumber
Solusi untuk masalah ini:
dikenal sebagai median , tetapi seperti apa fungsi kerugian untuk persentil lainnya? Contoh: persentil X ke-25 adalah solusi untuk:
Apa dalam kasus ini?
Biarkan menjadi fungsi indikator: itu sama dengan untuk argumen benar dan sebaliknya. Pilih dan atur
Angka ini menggambarkan . Ini menggunakan rasio aspek yang akurat untuk membantu Anda mengukur lereng, yang sama dengan di sisi kiri dan di kanan. Dalam hal ini kunjungan di atas mengalami penurunan berat dibandingkan dengan kunjungan di bawah .
Ini adalah fungsi alami untuk dicoba karena bobot nilai yang melebihi berbeda dari yang kurang dari . Mari kita menghitung kerugian yang terkait dan kemudian mengoptimalkannya.0 x 0
Menulis untuk fungsi distribusi dan pengaturan , hitungX L α ( m , x ) = Λ α ( x - m )
Karena bervariasi dalam ilustrasi ini dengan distribusi Normal Standar , area tertimbang probabilitas total dari diplot. (Kurva adalah grafik .) Plot sebelah kanan untuk paling jelas menunjukkan efek menurunkan bobot nilai-nilai positif, karena tanpa menurunkan plot ini plot akan simetris tentang asalnya. Plot tengah menunjukkan yang optimal, di mana jumlah total tinta biru (mewakili ) sekecil mungkin.F Λ 1 / 5 Λ 1 / 5 ( x - m ) d F ( x ) m = 0
Fungsi ini dapat dibedakan sehingga ekstremanya dapat ditemukan dengan memeriksa titik-titik kritis. Menerapkan Aturan Rantai dan Teorema Dasar Kalkulus untuk mendapatkan turunan sehubungan dengan memberi
Untuk distribusi kontinu ini selalu memiliki solusi yang, menurut definisi, adalah setiap kuantil dari . Untuk distribusi non-kontinu ini mungkin tidak memiliki solusi tetapi akan ada setidaknya satu yang mana untuk semua dan untuk semua : ini juga (dengan definisi) adalah kuantil dari .α X m F ( x ) - α < 0 x < m F ( x ) - α ≥ 0 x ≥ m α X
Akhirnya, karena dan , jelas bahwa atau akan meminimalkan kehilangan ini. Itu melelahkan pemeriksaan titik-titik kritis, menunjukkan bahwa sesuai dengan tagihan.α ≠ 1 m → - ∞ m → ∞ Λ α
Sebagai kasus khusus, adalah kerugian yang ditunjukkan dalam pertanyaan.
Artikel ini memiliki jawaban Anda. Untuk lebih spesifik, Fungsi kerugian dapat diartikan sebagai 'menyeimbangkan' wilayah massa probabilitas yang berbeda di sekitar melalui pengurangan . Untuk median, wilayah massa ini sama: menjadikan fungsi kerugian proporsional (dengan harapan konstanta diabaikan) ke yang memberikan kesimpulan yang diinginkan untuk median.
sumber