Filter IIR untuk Menghaluskan (Filter Lulus Rendah)

Saya menggunakan filter IIR untuk menghaluskan

$$y[n] = ax[n]+(1-a)y[n-1]$$

Pertanyaan saya adalah, jika saya menambahkan filter IIR lainnya, apakah ini akan menjadi filter IIR urutan kedua? Jika tidak, apa namanya?

Filter kedua saya adalah

$$y_2[n] = ay[n] + (1-a)y_2[n-1]$$

Jika Anda menerapkan dua filter dalam rangkaian kaskade, maka perilaku kaskade dapat diekspresikan dalam dua cara berbeda. Dalam domain waktu, respons impuls keseluruhan sistem dapat dihitung dengan menggabungkan respons impuls dan bersamaan. Untuk filter IIR, ini bisa agak rumit.$y[n]$$y_2[n]$

Dalam domain frekuensi, fungsi transfer -domain keseluruhan sistem dapat dihitung dengan mengalikan fungsi transfer dan bersamaan. Ini biasanya rute yang jauh lebih mudah untuk filter dengan umpan balik.$z$$H_y(z)$$H_{y_2}(z)$

Dalam kasus Anda, kedua filter sebenarnya memiliki hubungan input / output yang sama (dengan asumsi bahwa adalah input ke . Menggunakan -transform , mudah untuk menemukan bahwa:$y[n]$$y_2[n]$$z$

$$H_y(z) = H_{y_2}(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}$$

Menggunakan hubungan yang saya sebutkan di atas, Anda dapat menghitung fungsi transfer dari dua filter dalam kaskade menggunakan:

$$H(z) = H_y(z) H_{y_2}(z) = \left(\frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}\right)^2$$

$$H(z) = \frac{a^2}{1 - 2(1-a)z^{-1} + (1-a)^2z^{-2}}$$

Kita dapat dengan mudah menggunakan invers -transform untuk kembali pada persamaan perbedaan untuk dua filter bertingkat:$z$

$$y_c[n] = a^2x[n] - 2(1-a)y[n-1]+(1-a)^2y[n-2]$$

Dengan pemeriksaan, kami dapat menyatakan bahwa ini adalah filter urutan kedua (asalkan ), seperti yang Anda duga.$a \not= 1\ $

Ya, kombinasi dari dua filter IIR urutan pertama akan disebut filter urutan IIR ke-2. Proses menggabungkan dua filter urutan pertama untuk membentuk filter urutan kedua disebut cascading.