Interpretasi nilai eigen dari Hessian terbalik dalam pelacak KLT

Saya seorang mahasiswa master, sedang mempersiapkan seminar dalam visi komputer. Di antara topik adalah pelacak Kanade-Lucas-Tomasi (KLT), seperti dijelaskan dalam

J. Shi, C. Tomasi, "Fitur bagus untuk dilacak" . Prosiding CVPR '94.

Berikut adalah sumber daya web yang saya gunakan untuk memahami pelacak KLT. Saya butuh bantuan dengan matematika, karena saya sedikit berkarat dalam aljabar linier dan tidak memiliki pengalaman sebelumnya dengan visi komputer.

Dalam formula ini untuk $\Delta p$ (langkah 5 dalam ringkasan), perhatikan terbalik Hessian:

Δ p = H^{- 1} Σ_{x} {[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}]}^{T} [T (x) - I (W (x; p))]

$\Delta p = H^{-1}\Sigma_x\left[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}\right]^\mathsf{T} \left[T(x) − I(W(x; p))\right]$

$\min(\lambda_1,\lambda_2)>threshold$

Intuisi adalah bahwa ini mewakili sudut; Aku mengerti. Apa hubungannya dengan nilai eigen? Saya berharap bahwa jika nilai-nilai Hessian rendah, tidak ada perubahan, dan itu bukan sudut. Jika tinggi, itu sudut. Adakah yang tahu bagaimana intuisi cornerness berperan dalam nilai eigen dari Hessian terbalik untuk menentukan di seluruh iterasi dari pelacak KLT? $\Delta p$

Saya dapat menemukan sumber yang mengklaim bahwa Hessian terbalik berkorelasi dengan matriks kovarian gambar. Selain itu, kovarians gambar menunjukkan perubahan intensitas, dan kemudian masuk akal ... tapi saya tidak dapat menemukan apa sebenarnya matriks kovarians gambar sehubungan dengan gambar, dan bukan vektor, atau kumpulan gambar.

Juga, nilai eigen memiliki arti dalam analisis komponen utama, itulah sebabnya saya mendapatkan ide untuk matriks kovarian gambar, tapi saya tidak yakin bagaimana menerapkan ini ke Hessian, karena biasanya diterapkan pada gambar. Hessian, sejauh yang saya mengerti, adalah matriks mendefinisikan turunan ke-2 untuk , , dan di lokasi tertentu . $2\times 2$ $x$ $y$ $xy$ $(x,y)$

Saya akan sangat menghargai bantuan dengan ini, karena saya sudah menggunakannya selama 3+ hari, itu hanya satu formula kecil dan waktu hampir habis.

computer-vision Lorem Ipsum
sumber

ok, saya sudah cukup banyak mendapat ini melalui banyak sumber daya web mengenai kelengkungan utama, geomatry diferensial, nomor kondisi matriks (matriks dikondisikan dengan baik). saya masih perlu merumuskan penjelasan yang masuk akal untuk seminar ini. setelah saya memilikinya saya akan mempublikasikannya di sini, atau menghubungkan halaman ini ke seminar.

Anggap saja sebagai istilah kelancaran 2D.
Semakin halus tambalan, semakin rendah peringkat matriks dan semakin dekat matriks menjadi singular.

Di tepi lurus (bukan sudut), hanya satu nilai eigen akan besar.
Di sudut keduanya akan besar.

Menggunakan nilai eigen berarti bahwa sudut tepi bukan merupakan faktor, dan pada sudut mana pun, sebuah tepi akan memberikan hanya satu ev besar

Adi Shavit
sumber

Terima kasih atas jawaban Anda. Saya telah menemukan banyak sumber daya yang memberikan intuisi yang serupa, dan mendiskusikan masalah aperture. intuisi sudah jelas. pertanyaan saya lebih bersifat matematis, dan begitu saya menemukan jawabannya ternyata itu jauh lebih sederhana. hanya sifat-sifat matriks dasar. nilai eigen yang sama berarti matriks dikondisikan dengan baik, dan nilai eigen maksimum dibatasi, sehingga memberikan batas yang lebih rendah membuat nilai eigen serupa. lebih jauh lagi, nilai-nilai eigen berkorelasi dengan kelengkungan utama, untuk hessian. inilah informasi yang saya cari saat itu.

saya membaca kembali jawaban Anda, dan saya menemukan komentar mengenai nilai eigen dan sudut pandangnya. terima kasih telah berbagi dengan saya.

Anda harus menandainya sebagai "Dijawab" lalu.

Adi Shavit

Interpretasi nilai eigen dari Hessian terbalik dalam pelacak KLT

Jawaban: