Batas turunan dari fungsi terbatas-band terbatas

Membiarkan $f(t)$ menjadi fungsi dengan properti:

$$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$$

Diberikan $A$ dan $B,$ untuk apa batas atas yang ketat $|f'(t)|,$ nilai absolut turunan dari fungsi?

Tidak ada lagi yang akan dianggap $f(t)$dari apa yang telah dinyatakan di atas. Batas harus mengakomodasi ketidakpastian ini.

Untuk sinusoid amplitudo $A$ dan frekuensi $B,$ nilai absolut maksimum derivatif adalah $AB.$Saya ingin tahu apakah ini adalah batas atas, dan dalam hal ini juga batas atas yang ketat. Atau mungkin fungsi non-sinusoidal memiliki kemiringan yang lebih curam.

Anda akan tertarik pada ketimpangan Bernstein, yang pertama kali saya pelajari di Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (halaman 92).

Dengan sinyal yang berperilaku baik $f(t)$ seperti yang Anda definisikan di atas (khususnya, $f(t)$ dapat diintegrasikan dan dibatasi band $B\,\text{Hz}$, dan $\text{sup}\,|f(t)| = A$), kemudian

$$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$$

Perhatikan bahwa hasil asli Bernstein menetapkan batas $4AB\pi$; kemudian, ikatan itu diperketat$2AB\pi$.

---

Saya telah menghabiskan waktu membaca "Seri Trigonometrik" Zygmund; yang akan saya katakan adalah itu adalah obat yang sempurna bagi mereka yang berpendapat bahwa mereka tahu trigonometri. Pemahaman penuh buktinya berada di luar kemampuan matematika saya, tapi saya pikir saya bisa menyoroti poin utama.

Pertama, apa yang disebut Zygmund ketidaksetaraan Bernstein adalah hasil yang lebih terbatas. Diberikan polinomial trigonometri

$$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$$ (dengan nyata $x$), kemudian $$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$$ dengan ketimpangan yang ketat kecuali $T$ adalah monomial $A \cos(nx+\alpha)$.

Untuk menggeneralisasi ini, kita perlu hasil awal. Pertimbangkan suatu fungsi$F$ itu ada di $\text{E}^\pi$ dan masuk $\text{L}^2$. ($\text{E}^\sigma$ adalah kelas fungsi integral tipe paling banyak $\sigma$- ini adalah salah satu tempat di mana matematika saya mulai berjumbai di tepi. Pemahaman saya adalah bahwa ini adalah cara matematis yang keras untuk menyatakan itu$f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ memiliki bandwidth $\sigma$.)

Untuk itu $F$ kami memiliki formula interpolasi

$$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$$ dimana $z$ kompleks dan $$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$$ (Ini adalah teorema 7.19.)

Sekarang kita dapat menyatakan teorema utama. Jika:

• $F$ ada di $\text{E}^\sigma$ dengan $\sigma>0$
• $F$ dibatasi pada sumbu nyata
• $M=\sup |F(x)|$ nyata $x$

kemudian

$$|F'(x)| \leq \sigma M$$ dengan kesetaraan mungkin iff $F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$ untuk sewenang-wenang $a,b$. Kami mengira itu$\sigma=\pi$ (kalau tidak kita ambil $F(z\pi/\sigma)$ dari pada $F(z)$.)

Untuk membuktikan ini, kami menulis turunan dari $F$ menggunakan rumus interpolasi di atas:

$$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$$ Pengaturan $x=1/2$ kita mendapatkan $$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$$ yang menyiratkan $$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$$

Sekarang kita perlu sedikit trik yang bagus: Ambil yang sewenang-wenang $x_0$ dan mendefinisikan $G(z) = F(x_0+z-1/2)$. Kemudian,

$$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$$

(TODO: Tunjukkan bukti untuk kasus kesetaraan. Tentukan $\sum \prime$.)

In general you would get something like this, but it might not be tight:

$$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$$

The upper bound on $|f(t)|$ is of course implicit in $|F(j\omega)|$.

For a sinusoid $A\sin(\omega_ct)$, $(1)$ gives $A\omega_c$ as an upper bound, as expected.