Apa contoh yang baik dari proses ergodik?

Saya mencoba mencari contoh sederhana dari proses ergodik. Proses apa yang muncul di benak Anda sebagai ilustrasi bagus tentang propertinya?

Sebuah penelitian cepat ( Wikipedia , jawaban lain ) terutama memberi contoh proses non-ergodik. Juga, saya bertanya-tanya fenomena dunia nyata mana yang cocok untuk dimodelkan sebagai proses ergodik?

Anggap saja saya memberi Anda serangkaian angka, dan saya katakan Anda dipilih secara acak. Dan Anda tahu saya tidak berusaha menipu Anda. Bilangannya adalah: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Saya sekarang mengusulkan Anda untuk memprediksi yang berikutnya, atau setidaknya, sedekat mungkin. Nomor mana yang akan Anda pilih?

[Berpikir]

[Menghitung]

• Saya yakin sebagian besar pembaca cenderung memilih angka antara $0$ dan $6$ . Karena rentang yang terbatas.
• Mungkin bilangan bulat. Siapa yang mungkin mengusulkan $\pi$ (bahkan memikirkan angka pertama)?
• Mungkin $2$ , $3$ , atau $4$ . Mungkin genap $3$ .

Pada dasarnya, Anda berasumsi bahwa saya memberikan angka dengan aturan yang tidak diketahui. Dan mungkin, Anda mungkin berpikir (atau membuat hipotesis) bahwa rangkaian angka yang diberikan, jika cukup lama, dapat memberi Anda pemahaman yang baik tentang aturan yang ada dalam pikiran saya. Jika Anda melakukannya, Anda berhipotesis bahwa proses mental saya ergodik:

sebuah proses di mana setiap urutan atau sampel yang cukup besar sama-sama mewakili keseluruhan (seperti dalam hal parameter statistik) ( Merriam-Webster )

Di sini, tidak ada cara untuk memastikan bahwa seri saya mengikuti proses ergodik. 3432 adalah PIN kartu saya, 3 kesalahan (saya bermaksud 6, tapi saya canggung), 4, 3, 1 dan 5 adalah digit pertama $\pi$ yang saya gunakan cukup sering. "Nomor" saya berikutnya adalah C (dalam heksadesimal). Saya tidak percaya proses ini ergodik. Setiap angka keluar dari undang-undang yang berbeda. Tapi jujur, saya tidak tahu. Mungkin saya tunduk pada beberapa kekuatan orde tinggi yang mendorong saya di bawah aturan ergodisitas.

Jadi, ergodisitas adalah hipotesis semacam "kesederhanaan" dalam aturan suatu proses. Seperti stasioneritas atau sparsity. Keluarkan dadu biasa dengan $6$ wajah. Lempar koin normal. Jika tidak ada yang mencoba mempengaruhi hasilnya (makhluk tak terlihat yang menangkap mati dan menunjukkan wajah pilihannya), Anda cenderung menghasilkan proses ergodik.

Alih-alih bisa melempar koin dalam jumlah tak terbatas, dengan jumlah ibu jari tak terbatas, tepat di detik yang sama, Anda melempar satu koin setiap detik, dan yakin hasil akhirnya hampir sama.

Gerakan Brown juga memiliki sifat ergodik.

Dari artikel wikipedia:

proses stokastik dikatakan ergodik jika sifat statistiknya dapat disimpulkan dari sampel acak tunggal, cukup lama dari proses tersebut.

Dengan kata lain: sifat statistik ensemble-waktu sama dengan sifat statistik real-ensembel.

Mungkin kita perlu mengambil langkah mundur dan berbicara tentang apa itu proses stokastik, untuk memulai.

Bayangkan ini hari yang berangin. Anda duduk di rumah, dan melihat keluar jendela. Kadang-kadang, Anda melihat dedaunan tertiup angin di jendela. Anda mendapatkan spidol papan tulis dan menggambar sistem koordinat ke jendela Anda, jadi sekarang Anda dapat mengamati beberapa jalur daun dan membandingkannya:

Jadi, setiap jalur adalah satu realisasi dari proses stokastik "leafpath on a stormy day".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Biasanya lebih sulit untuk memahami kasus non-ergodik (itulah sebabnya orang lebih sering mencari contoh proses tersebut).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Mengenai bagian kedua dari pertanyaan Anda, kami dapat menggunakan ergodisitas untuk menyederhanakan masalah. Misalnya, antara rata-rata ensemble dan rata-rata waktu yang mungkin sulit atau bahkan tidak mungkin untuk dihitung (atau disimulasikan). Tetapi karena kita tahu (atau berasumsi) prosesnya ergodik (yaitu mereka identik), kita hanya menghitung yang lebih sederhana. Sebagai contoh, saya dapat memikirkan metode Monte Carlo (seperti yang kami gunakan untuk memodelkan kinerja kesalahan sistem komunikasi) di mana kami mensimulasikan rantai transmisi-penerimaan dan mengulanginya untuk beberapa kali dan rata-rata hasilnya untuk mencari tahu tentang properti ensemble (seperti probabilitas kesalahan, dll.).