Apakah inverse-CTFT ada untuk dirac delta?

Apakah transformasi Fourier kontinu waktu terbalik ada untuk Dirac delta (Lonjakan kausal / non-kausal tunggal)?

Ya, ini adalah eksponensial yang kompleks $e^{2 \pi i f_0 t}$, pada frekuensi yang ditentukan oleh "posisi" delta $f_0$ (input Anda sedang $\delta(f - f_0)$). Tuliskan integral untuk transformasi Fourier terbalik, gunakan definisi$\delta$ dan Anda akan melihatnya "memilih" pada frekuensi khusus ini eksponensial kompleks yang terintegrasi.

Sebagai catatan: forward dan inverse Fourier Transform sebagian besar adalah hal yang sama. Misalnya persegi panjang dalam satu domain sesuai dengan dosa (x) / x di domain lain (terlepas apakah itu dimulai dalam waktu atau frekuensi). Hal yang sama berlaku untuk delta: impuls di satu domain sesuai dengan eksponensial kompleks di yang lain.

Anda dapat menerapkan FFT terbalik (berdasarkan FFT maju) sebagai berikut:

1. ambil konjugat
2. meneruskan FFT
3. ambil konjugasi lagi
4. bagi dengan panjang urutan

Di Matlab akan terlihat seperti ini

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));