Definisi sistem ODE yang kaku

Pertimbangkan IVP untuk sistem ODE , . Paling umum masalah ini dianggap kaku ketika matriks Jacobi memiliki kedua nilai eigen dengan bagian nyata negatif yang sangat besar dan nilai eigen dengan bagian nyata negatif yang sangat kecil (saya menganggap hanya bagian stabil kasus).y ( x 0 ) = y 0 ∂ $y'=f(x,y)$$y(x_0)=y_0$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

Di sisi lain, dalam kasus hanya satu persamaan, misalnya persamaan Prothero-Robinson , itu disebut kaku ketika .λ ≪ - $y'=\lambda y + g'+\lambda g$$\lambda\ll -1$

Jadi ada dua pertanyaan:

1. Mengapa nilai eigen kecil dimasukkan dalam definisi kekakuan untuk sistem ODE? Saya percaya bahwa keberadaan hanya bagian nyata negatif yang sangat besar sudah cukup untuk sistem menjadi kaku, karena ini membuat kita menggunakan timesteps kecil untuk metode eksplisit.

2. Ya, saya tahu bahwa masalah kaku yang paling umum (misalnya timbul dari PDE parabola) memiliki nilai eigen besar dan kecil. Jadi pertanyaan kedua: apakah ada contoh alami yang baik dari sistem kaku besar tanpa nilai eigen yang sangat kecil (atau sebagai alternatif dengan rasio ringan )?$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

Oke, mari kita ubah pertanyaannya. Pertimbangkan dua sistem ODE linear dua dimensi: pertama dengan nilai eigen {-1000000, -0.00000001} dan kedua dengan {-1000000, -999999}. Bagi saya, keduanya kaku. Tetapi jika kita mempertimbangkan definisi rasio kekakuan, sistem kedua tidak. Pertanyaan utama: mengapa rasio kekakuan dipertimbangkan?

Dan bagian kedua dari pertanyaan ini masih penting, mari kita susun: Saya mencari sistem ODE besar "alami" dengan nilai eigen negatif besar dan rasio kekakuan ringan (tidak lebih besar dari, katakanlah, 100).

Kekakuan melibatkan beberapa pemisahan timbangan. Secara umum, jika Anda tertarik pada fase mode tercepat dalam sistem, maka Anda harus menyelesaikannya dan sistem tidak kaku. Tetapi sering kali, Anda tertarik pada dinamika jangka panjang dari "manifold lambat" daripada tingkat yang tepat di mana solusi dari manifold lambat mendekatinya.

Reaksi kimia dan aliran reaksi adalah contoh umum dari sistem kaku. The van der Pol osilator adalah masalah patokan umum untuk integrator ODE yang memiliki kekakuan paramater merdu.

Lautan adalah contoh lain yang mungkin berguna untuk divisualisasikan. Tsunami (gelombang gravitasi permukaan) bergerak dengan kecepatan pesawat terbang dan menghasilkan struktur gelombang yang kompleks, tetapi menghilang dalam skala waktu yang lama dan sebagian besar tidak berdampak pada dinamika jangka panjang lautan. Eddy, atau pihak lain, berjalan sekitar 100 kali lebih lambat pada kecepatan pejalan kaki yang cukup, tetapi menyebabkan pencampuran dan transportasi suhu, salinitas, dan pelacak biogeokimia yang relevan. Tetapi fisika yang sama yang menyebarkan gelombang gravitasi permukaan juga mendukung eddy (struktur quasi-equilibrium), sehingga kecepatan eddy, jalur di bawah Coriolis, dan laju disipasi bergantung pada kecepatan gelombang gravitasi. Ini menyajikan peluang untuk skema integrasi waktu yang dirancang untuk sistem yang kaku untuk melangkahi skala waktu gelombang gravitasi dan hanya menyelesaikan skala waktu dinamis yang relevan. LihatMousseau, Knoll, dan Reisner (2002) untuk diskusi tentang masalah ini dengan perbandingan skema integrasi waktu yang terpecah dan sepenuhnya implisit.

Terkait: Kapan metode implisit harus digunakan dalam integrasi PDE hiperbolik?

Perhatikan bahwa proses difusi biasanya dianggap kaku karena skala waktu tercepat dalam sistem diskrit bergantung pada mesh, penskalaan dengan , tetapi skala waktu dari fisika yang relevan adalah mesh independen. Faktanya, skala waktu tercepat untuk mesh yang diberikan mewakili relaksasi spasial lokal ke manifold yang lebih lambat yang mana skala spasial yang lebih panjang berevolusi, sehingga metode implisit dapat menjadi sangat akurat bahkan dalam norma yang kuat meskipun tidak menyelesaikan skala tercepat.$(\Delta x)^2$

Bagian 1

Nilai eigen kecil tidak termasuk dalam definisi kekakuan untuk sistem ODE (masalah nilai awal). Tidak ada definisi memuaskan tentang kekakuan yang saya ketahui, tetapi definisi terbaik yang saya temui adalah:

Jika metode numerik dengan wilayah berhingga dengan stabilitas absolut, diterapkan pada sistem dengan kondisi awal apa pun, terpaksa digunakan dalam interval integrasi tertentu, panjang langkah yang terlalu kecil dalam kaitannya dengan kelancaran solusi tepat dalam interval itu. , maka sistem dikatakan kaku dalam interval itu. (Lambert, JD (1992), Metode Numerik untuk Sistem Diferensial Biasa , New York: Wiley.)

$[0,b]$

Persamaan kaku adalah persamaan di mana metode implisit tertentu, khususnya BDF, berkinerja lebih baik, biasanya jauh lebih baik, daripada yang eksplisit. (CF Curtiss & JO Hirschfelder (1952): Integrasi persamaan kaku. PNAS, vol. 38, hal. 235-243)

Artikel Wikipedia tentang persamaan kaku melanjutkan dengan atribut "pernyataan" berikut untuk Lambert:

1. Sistem koefisien konstan linier kaku jika semua nilai eigennya memiliki bagian nyata negatif dan rasio kekakuan besar.

2. Kekakuan terjadi ketika persyaratan stabilitas, alih-alih keakuratan, membatasi panjang langkah. [Perhatikan bahwa "pengamatan" ini pada dasarnya adalah definisi dari Ascher dan Petzold.]

3. Kekakuan terjadi ketika beberapa komponen larutan membusuk jauh lebih cepat daripada yang lain.

Masing-masing pengamatan ini memiliki contoh tandingan (walaupun diakui saya tidak bisa menghasilkan satu dari atas kepala saya).

Bagian 2

Mungkin contoh terbaik yang dapat saya berikan adalah mengintegrasikan segala jenis sistem reaksi pembakaran besar dalam kinetika kimia dalam kondisi yang menghasilkan pengapian. Sistem persamaan akan kaku sampai penyalaan, dan kemudian tidak akan menjadi kaku karena sistem telah melewati transien awal. Rasio nilai eigen terbesar ke terkecil tidak boleh besar kecuali di sekitar acara penyalaan, meskipun sistem seperti itu cenderung mengacaukan integrator yang kaku kecuali Anda menetapkan toleransi integrasi yang sangat ketat.

Buku oleh Hairer dan Wanner juga memberikan beberapa contoh lain di bagian pertama (Bagian IV, bagian 1) yang menggambarkan banyak contoh lain dari persamaan kaku. (Wanner, G., Hairer, E., Memecahkan Persamaan Diferensial Biasa II: Masalah Aljabar dan Diferensial-Diferensial (2002), Springer.)

Akhirnya, ada baiknya menunjukkan pengamatan CW Gear:

Meskipun itu adalah umum untuk berbicara tentang "persamaan diferensial kaku," persamaan per se tidak kaku, masalah nilai awal tertentu untuk persamaan yang mungkin kaku, di beberapa daerah, tetapi ukuran wilayah ini bergantung pada nilai awal dan yang toleransi kesalahan. (CW Gear (1982): Deteksi otomatis dan pengobatan persamaan diferensial biasa osilasi dan / atau kaku. Dalam: Integrasi numerik persamaan diferensial, Catatan Kuliah dalam Matematika., Vol. 968, hal. 190-206.)

Sebenarnya Jed Brown telah menjawab pertanyaan saya. Yang saya lakukan sekarang hanyalah menempatkan kata-katanya dalam konteks.

1. Kedua sistem ODE linier 2d dari atas kaku (yaitu sulit untuk diselesaikan dengan metode eksplisit) pada interval waktu yang relatif besar (misalnya [0,1]).

2. Sistem linear dengan rasio kekakuan besar dapat dianggap "lebih kaku" karena kemungkinan besar seseorang perlu mengintegrasikannya pada interval waktu yang besar. Hal ini disebabkan komponen lambat yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil: solusinya perlahan cenderung ke kondisi mapan, dan kondisi mapan ini biasanya penting untuk dicapai.

3. Di sisi lain, integrasi sistem dengan rasio kekakuan kecil pada interval besar tidak menarik: dalam hal ini kondisi mantap tercapai dengan sangat cepat dan kita bisa memperkirakannya.

Terima kasih untuk semua untuk diskusi ini!

Nilai absolut dari nilai-nilai eigen (dalam masalah linear, otonom) saja tidak memiliki arti sama sekali; ini adalah artefak dari unit yang Anda pilih untuk mengungkapkan masalah.

Rantai komentar semakin tidak terkendali, jadi saya membuat ini sebagai jawaban. Saya tidak akan menjawab pertanyaan lengkap; seperti yang saya katakan, lihat wikipedia atau jawaban lain di sini. Saya hanya menjawab sedikit yang mengatakan

Pertimbangkan dua sistem ODE linear dua dimensi: pertama dengan nilai eigen {-1000000, -0.00000001} dan kedua dengan {-1000000, -999999}. Bagi saya, keduanya kaku. Tetapi jika kita mempertimbangkan definisi rasio kekakuan, sistem kedua tidak. Pertanyaan utama: mengapa rasio kekakuan dipertimbangkan?

Oke, mari kita perhatikan contoh kasus kedua:

$t^* = 1000000\cdot t$

Catatan 1: Saya memilih sistem diagonal untuk membuatnya benar-benar jelas, tetapi jika Anda mencobanya dengan sistem lain dengan nilai eigen itu, Anda akan melihat efek yang sama, karena mengalikan matriks dengan konstanta mengalikan nilai eigennya dengan konstanta yang sama.

$|\lambda|\gg1$