Osilasi dalam masalah difusi reaksi-terganggu tunggal dengan elemen hingga

Ketika diskritisasi FEM dan menyelesaikan masalah difusi reaksi, misalnya, dengan (perturbasi singular), solusi dari masalah diskrit biasanya akan menunjukkan lapisan berosilasi dekat dengan batas. Dengan , dan elemen hingga linier, solusi terlihat seperti

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

solusi dari masalah yang sangat terganggu

Saya melihat ada banyak literatur di luar sana untuk efek yang tidak diinginkan seperti ketika mereka disebabkan oleh konveksi (misalnya, diskritisasi melawan angin), tetapi ketika datang ke reaksi, orang-orang tampaknya fokus pada jerat halus (Shishkin, Bakhvalov).

Adakah diskresi yang menghindari osilasi semacam itu, yaitu, yang menjaga monotonitas? Apa lagi yang mungkin berguna dalam konteks ini?

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation Nico Schlömer
sumber

Bukankah skema perbedaan sentral menjaga monotonitas karena mengarah ke matriks-M ?

Hui Zhang

@HuiZhang Sayangnya tidak. Untuk elemen hingga, reaksi berkontribusi yang menghasilkan entri off-diagonal positif.

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

Nico Schlömer

@HuiZhang Anda benar tentu saja dalam kasus perbedaan hingga (dan volume terbatas juga). Saya akan mengadaptasi jawaban untuk menyatakan lebih jelas bahwa saya tertarik pada elemen hingga.

Nico Schlömer

Metode Galerkin yang tidak terputus menjadi sangat populer untuk masalah seperti itu - apakah Anda sudah membaca buku karya Di Pietro dan Ern?

Christian Clason

Jawaban:

Jika Anda menunjukkan, solusinya memiliki lapisan batas. Jika Anda tidak dapat menyelesaikannya karena mesh Anda terlalu kasar, maka untuk semua hal praktis solusinya tidak berlanjut ke skema numerik.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

Wolfgang Bangerth
sumber

TL; DR: Pilihan Anda terbatas 1) go brute force adaptif untuk solusi yang akurat dan mahal 2) menggunakan difusi numerik untuk solusi yang kurang akurat tetapi stabil atau (favorit saya) 3) memanfaatkan fakta bahwa ini adalah masalah gangguan tunggal dan menyelesaikan dua masalah dalam / luar yang murah dan biarkan asimtotik yang cocok melakukan keajaibannya!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ solusi batin dengan mudah - dalam hal ini bahkan analitis.

Ini sebenarnya teknik yang (dan masih) sangat populer untuk memecahkan masalah lapisan batas laminar dalam mekanika fluida di masa lalu. Bahkan jika Anda melihat persamaan Navier-Stokes, pada bilangan Reynolds yang tinggi, Anda secara efektif menghadapi masalah perturbasi tunggal, yang seperti yang Anda sebutkan di sini, mengembangkan lapisan batas (fakta menyenangkan: istilah "lapisan batas" dalam perturbasi Analisis sebenarnya berasal dari masalah lapisan batas fluida yang baru saja saya jelaskan).

$u_0 = 1$

GradGuy
sumber