Apakah ada algoritma multigrid yang memecahkan masalah Neumann dan memiliki tingkat konvergensi yang independen dari jumlah level?

Metode multigrid biasanya menyelesaikan masalah Dirichlet pada level (mis. Titik Jacobi atau Gauss-Seidel). Ketika menggunakan metode elemen hingga terus menerus, jauh lebih murah untuk merakit masalah Neumann kecil daripada merakit masalah Dirichlet kecil. Metode dekomposisi domain yang tidak tumpang tindih seperti BDDC (seperti FETI-DP) dapat diartikan sebagai metode multigrid yang memecahkan masalah "Neumann" yang disematkan pada level. Sayangnya, nomor kondisi untuk skala BDDC bertingkat sebagai

C {(1 + catatan (\frac{H}{h}))}^{2 L.}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

di mana adalah jumlah level dan adalah rasio kasar. Sebaliknya, jumlah kondisi untuk metode multigrid dengan smoothers berdasarkan masalah Dirichlet memiliki nomor kondisi yang independen dari jumlah level. $L$ $H/h$

Apakah ada cara untuk memecahkan masalah "Neumann" yang disematkan tanpa kehilangan tingkat independensi?

pde multigrid Jed Brown
sumber

Catatan: ini adalah pertanyaan penelitian terbuka, yang diposting di sini sebagai tantangan karena ini merupakan keprihatinan praktis yang tampaknya diabaikan oleh banyak analis yang bekerja di bidang ini.

Jed Brown

Sulit untuk mengatakan apa persisnya yang setara dengan blok "Pinned Neumann" lebih lancar dalam konteks multigrid, setidaknya jika Anda mengharapkannya mengambil peran yang sama dengan yang dilakukannya dalam konteks DD. Bisakah Anda menguraikan tinta yang mungkin Anda miliki tentang apa ini?

Peter Brune

Jawaban:

Saya tidak yakin betapa berbedanya ini dengan BDDC, dan itu tidak dianalisis secara menyeluruh, tetapi ini tampak menarik ketika saya membacanya sebelumnya:

Solver multigrid Poisson paralel untuk simulasi cairan pada kisi besar

selion
sumber

Makalah ini menggunakan metode beda hingga, yang wajar untuk membangun masalah Dirichlet lokal. Mereka menggunakan Jacobi teredam yang lebih halus (masalah Dirichlet satu titik). Ini adalah memori rendah (umum untuk kelas metode ini) dan menggunakan interpolasi grid terhuyung-huyung (tidak khas). Ini mungkin makalah yang bagus (saya tidak membacanya dengan cermat), tetapi ini tidak penting untuk pertanyaan ini.

Jed Brown