Bagaimana saya dapat memperoleh suatu ikatan pada osilasi palsu dalam solusi numerik persamaan adveksi 1D?

Misalkan saya memiliki masalah adveksi berkala 1D berikut:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$dalam$\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
mana$g(x)$memiliki diskontinuitas lompatan pada$x^*\in (0,1)$.

Ini adalah pemahaman saya bahwa untuk skema beda hingga linier lebih tinggi dari urutan pertama, osilasi palsu terjadi di dekat diskontinuitas ketika ia dikembangkan dari waktu ke waktu, menghasilkan distorsi solusi dari bentuk gelombang yang diharapkan. Menurut penjelasan wikipedia , tampaknya osilasi ini biasanya terjadi ketika fungsi diskontinyu didekati dengan deret fourier deret.

Untuk beberapa alasan, saya tidak bisa memahami bagaimana deret fourier yang terbatas dapat diamati dalam solusi PDE ini. Secara khusus, bagaimana saya bisa memperkirakan batasan pada "over-shoot" secara analitis?

Metode angin pasang surut pertama adalah monoton; itu tidak memperkenalkan osilasi palsu. Tetapi ini hanya urutan pertama yang akurat, sehingga difusi numerik sangat banyak sehingga tidak dapat digunakan untuk banyak tujuan. Teorema Godunov menyatakan bahwa diskritisasi spasial linier lebih tinggi dari orde pertama tidak dapat menjadi monoton. Untuk mengontrol osilasi secara ketat, kami menggunakan skema Total Variation Diminishing (TVD) . Metode TVD biasanya terbatas pada akurasi urutan kedua. Untuk pesanan yang lebih tinggi, kita harus mengendurkan permintaan kita, mengarah ke metode Total Variation Bounded (TVB) seperti (Weighted) Essential Non-Oscillatory ((W) ENO), atau kita harus mengendurkan definisi TVD menjadi "pelestarian prinsip maksimum" atau serupa, di mana ekstrema awal dalam hal solusi direkonstruksi awal, menghasilkanskema pembatas khusus .

$$U^{n+1} = LU^n$$

$L$

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ $h$$\xi$adalah bilangan gelombang, yang berkisar dari nol hingga bilangan gelombang tertinggi di grid). Vektor eigen ini membentuk dasar untuk semua fungsi yang dapat direpresentasikan pada kisi. Jika Anda mengekspresikan solusi dalam mode Fourier diskrit ini, maka metode numerik didiagonalisasi, yaitu setiap komponen Fourier dikalikan dengan faktor skalar (umumnya kompleks) pada setiap langkah. Faktor skalar sering disebut sebagai faktor amplifikasi, dan apa yang baru saja saya jelaskan dikenal sebagai analisis von Neumann . Ini analog dengan analisis Fourier dari PDE linier, di mana orang menggunakan basis Fourier, untuk "mendiagonalisasi" operator diferensial linier.

Anda dapat menemukan penjelasan yang bagus, misalnya, dalam teks Strikwerda atau LeVeque .

Tidak semua osilasi palsu adalah fenomena Gibbs. Mereka terlihat serupa, tetapi ada osilasi Gibbs untuk semua pendekatan Fourier terbatas fungsi terputus-putus (mereka hanya menjadi lebih kecil saat Anda menambahkan lebih banyak istilah). Sedangkan, ada representasi non-osilasi fungsi terputus-putus yang dihasilkan dari solusi perkiraan perbedaan hingga PDE yang tidak memerlukan seri tak terbatas.

$\inf$$\sup$

Adapun pertanyaan terakhir Anda tentang hubungan antara deret Fourier terbatas dan pendekatan elemen hingga: Secara umum, jika Anda mencoba untuk memproyeksikan fungsi dengan melompat ke ruang dimensi terbatas yang fungsi basisnya kontinu, Anda mendapatkan fenomena Gibbs. Ini benar jika basisnya adalah deret Fourier terbatas (di mana fungsi dasarnya adalah sinus dan cosinus) atau jika basisnya adalah fungsi topi elemen hingga biasa - ini adalah properti dari proyeksi plus ketidakcocokan fungsi dasar.

Salah satu pendekatan adalah melalui persamaan ekivalen, yaitu persamaan diferensial yang digunakan metode diskrit Anda untuk mendapatkan perkiraan terdekat. Ini bukan persamaan diferensial yang ingin Anda pecahkan. Kemudian Anda melihat solusi asimtotik dari persamaan yang sama, untuk fungsi langkah sebagai data awal. Lihatlah Bouche, D., Bonnaud, G. dan Ramos, D., 2003. Perbandingan skema numerik untuk menyelesaikan persamaan advection. Surat matematika terapan, 16 (2), hlm.147-154.