Perkirakan norma fungsional kotak hitam

9

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-terbatas dengan norma dan biarkan F:VR menjadi fungsional linier terbatas. Itu hanya diberikan sebagai kotak hitam.

Saya ingin memperkirakan norma F (dari atas dan bawah). Karena F adalah kotak hitam, satu-satunya cara untuk melakukannya adalah mengujinya dengan vektor satuan dari V dan, berdasarkan hasilnya, temukan vS1V yang memaksimalkan |F(v)|.

Apakah Anda tahu algoritma seperti itu? Dalam aplikasi yang ada dalam pikiran saya, V adalah ruang elemen hingga dan F adalah fungsi rumit pada ruang itu.

EDIT: Gagasan pertama saya adalah memilih vS1V secara acak, ganggu menjadi beberapa arah, katakanlah, v1,,vk , dan kemudian ulangi prosedur dengan vi yang mendapat F(vi) . Saya tidak tahu di mana menemukan algoritma dan analisis untuk masalah ini.

shuhalo
sumber
Apakah norma kotak hitam juga? Atau apakah itu norma yang biasa untuk ruang Banach, ?
Jack Poulson
Juga, apakah Anda tertarik pada norma di suatu wilayah (atau pada suatu titik) di mana fungsi tersebut memiliki turunan kontinu?
Jed Brown
@ Jack: Norma ruang vektor dapat dihitung, dan pada ruang elemen hingga dapat dihitung oleh matriks massa dan matriks kekakuan. ( Turunan ke- 0 dan ke- 1 ).
shuhalo
@ Jed: adalah linier, jadi sudah dapat dibedakan. F
shuhalo

Jawaban:

2

Jika spasi adalah ruang Hilbert, maka teorema Riesz mengatakan bahwa Anda dapat mewakili dan Anda dapat menghitung seperti yang Anda sebutkan dengan mencoba vektor satuan. Jika ruang dimensi lebih tinggi, maka ini menjadi tidak praktis, tetapi Anda setidaknya dapat menghitung estimasi dengan menghitung untuk urutan vektor acak .VF(v)=f,vffF(v)v

Wolfgang Bangerth
sumber
0

Mungkin Anda dapat memodifikasi penaksir angka kondisi Hager (lihat, misalnya, kertas http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), yang mengikatketika faktorisasi diketahui, berfungsi untuk kasus khusus Anda.A1A

Arnold Neumaier
sumber