Bagaimana keadaan terkini dalam memecahkan PDE parabola dimensi yang lebih tinggi (persamaan Schrödinger multi-elektron)

Bagaimana keadaan terkini dari seni untuk memecahkan PDE parabola dimensi tinggi (3-10) dalam domain kompleks dengan kutub sederhana (dari bentuk ) dan menyerap kondisi batas?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Secara khusus, saya tertarik untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger multi-elektron:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Untuk molekul diatomik dengan lebih dari 1 elektron.

Solusi untuk persamaan adalah dalam Jika jumlah elektronnyacukup kecil,Anda bisa menggunakanmetodetradisionalapa saja. Seperti metode diskritisasi domain (Selisih Hingga, Elemen Hingga, Elemen Batas), atau metode pseudospektral. Karena memecahkan persamaan ini tidak lebih sulit daripada memecahkan persamaan gelombang multidimensi.

Dalam kasus sistem yang lebih besar diperlukan beberapa trik untuk mendapatkan solusinya. Kami mengganti interaksi elektron-elektron untuk interaksi elektron dengan awan elektron (perkiraan bidang rata-rata dari sisanya), dan kemudian menyelesaikannya dengan cara yang konsisten sendiri (karena nonlinieritas yang berasal dari bidang rata-rata) istilah). Ini dilakukan dalam Hartree-Fock dan Density Functional Theory (DFT). Di mana persamaan diferensial asli diubah menjadi formulasi variasional.

DFT adalah metode yang paling umum saat ini, dan keuntungannya adalah bahwa semua persamaan dirumuskan dalam hal kerapatan elektron dan bukan dalam hal persamaan gelombang. Jadi, persamaan terletak di ruang 3 dimensi. Satu buku yang menjelaskan kedua metode ini adalah

• Thijssen, Jos. Fisika komputasi. Cambridge University Press, 2007. Tautan Amazon .

Anda ingin menyelesaikan selama 3 hingga 10 sistem partikel (3D per partikel)? Sejauh yang saya ketahui, teori medan yang berarti tidak bekerja dengan baik untuk partikel yang sangat sedikit, tetapi tampaknya ada kerja DFT pada molekul diatomik.

Apakah ini sistem di mana Born-Oppenheimer valid? Jika demikian, saya mungkin cenderung untuk memperluas fungsi gelombang elektronik menggunakan kombinasi linear dari determinan Slater yang mungkin menggunakan grid tipis atau grid tipis spektral. Makalah ini mungkin bisa membantu .

Pilihan lain adalah mencoba menggunakan pendekatan yang mengikat ketat, meskipun fakta bahwa Anda menyebutkan kondisi batas menyerap menunjukkan Anda mungkin berpikir tentang masalah yang melibatkan ionisasi / disosiasi. TB sebagian besar akan berguna jika Anda mencoba mendekati keadaan tingkat rendah.

Mungkin sesuatu seperti metode Hartree-Fock yang bergantung waktu dan multi-konfigurasi dapat bekerja di sini MCTDHF .

Akhirnya, Anda bisa melihat metode quantum Monte Carlo. Ini adalah metode pertukaran model fungsional korelasi untuk atom tunggal yang diperoleh untuk melakukan perhitungan DFT. Sepertinya ada ekstensi poli-atom. (Saya kehabisan hak tautan).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

Dari pertimbangan ini berikut bahwa tidak mungkin untuk mempertimbangkan masalah dengan semua elektron pada saat yang sama - Anda perlu membatasi diri pada satu atau dua elektron sekaligus. Ini secara alami mengarahkan Anda ke metode seperti metode Hartree Fock yang beriterasi pada elektron sambil menjaga sisa sistem tetap.

Saya tidak tahu bidangnya dengan baik, tetapi bayangkan ada sejumlah makalah ulasan yang sangat dikutip dan ditulis dengan baik tentang topik ini.