Bagaimana wavelet dapat diterapkan ke PDE?

Saya ingin belajar bagaimana metode wavelet dapat diterapkan pada PDE, tetapi sayangnya saya tidak tahu sumber yang bagus untuk mempelajari tentang topik ini.

Tampaknya banyak pengantar wavelet fokus pada teori interpolasi, misalnya, mengumpulkan sinyal dengan superposisi beberapa wavelet yang disukai. Aplikasi untuk PDE kadang-kadang disebutkan, tanpa masuk lebih dalam ke subjek itu. Saya tertarik pada artikel ringkasan yang bagus untuk orang-orang yang telah melihat WFT tetapi tidak memiliki pengetahuan lebih tentang topik itu. Ringkasan yang baik akan menarik juga, tentu saja, jika Anda pikir itu bisa dilakukan.

Saya sangat tertarik untuk mendapatkan kesan pertanyaan seperti apa yang biasanya muncul. Sebagai contoh, saya tahu bahwa elemen hingga biasanya diterapkan pada PDE pada domain yang dibatasi dengan batas Lipschitz, yang merupakan pertanyaan khas dalam memilih ruang ansatz (sesuai, tidak sesuai, geometri dan kombinatorik), bagaimana teori konvergensi ditetapkan ( sebenarnya teori Galerkin tidak boleh begitu berbeda untuk Wavelet), dan saya memiliki beberapa intuisi yang hal-hal matematika layak dalam implementasi. Perspektif mata burung seperti itu pada Wavelets untuk PDE akan sangat membantu bagi saya.

Wavelet memiliki sifat aproksimasi multi-resolusi yang bagus, tetapi tidak terlalu populer untuk menyelesaikan PDE. Alasan paling umum dikutip adalah kesulitan memaksakan kondisi batas, pengobatan anisotropi yang tidak selaras, evaluasi istilah nonlinier, dan efisiensi.

Wavelet pertama kali mendapatkan hasil konvergensi yang kuat untuk metode adaptif penuh (lihat Cohen, Dahmen, dan DeVore 2001 dan 2002 ). Namun, teori penting ini dengan cepat diikuti oleh Binev, Dahmen, dan DeVore (2004) yang membuktikan hasil yang sama untuk metode elemen hingga adaptif yang lebih populer untuk masalah PDE tradisional dalam dimensi moderat. Basis wavelet populer untuk masalah dimensi yang lebih tinggi seperti metode tensor jarang untuk PDE stokastik Schwab dan Gittelson (2011) dan diskusi ini .

Operator diferensial telah membatasi jumlah kondisi ketika diekspresikan dalam basis wavelet dan dikondisikan sebelumnya dengan Jacobi (dengan demikian metode Krylov bertemu dalam jumlah iterasi yang tidak tergantung pada resolusi). Ini terkait dengan metode multigrid hierarkis Yserentant (1984), Bank, Dupont, dan Yserentant (1988) , dan lainnya. Perhatikan bahwa metode multigrid multiplikatif memiliki sifat konvergensi yang unggul untuk metode aditif. V-cycle multigrid standar pada dasarnya setara dengan Gauss-Seidel simetris standar dalam basis wavelet dengan pemesanan yang biasa. Perhatikan bahwa ini jarang merupakan cara terbaik untuk diterapkan, terutama secara paralel.

$\mathcal H$

Operator diferensial relatif lebih mahal untuk dievaluasi di pangkalan wavelet dan mungkin sulit untuk membangun properti konservasi yang diinginkan. Beberapa penulis (misalnya Vasilyev, Paolucci, dan Sen 1995) menggunakan metode kolokasi dan menggunakan stensil perbedaan hingga untuk mengevaluasi istilah turunan dan nonlinier. Jika ekspansi wavelet diblokir (biasanya baik untuk efisiensi komputasi), metode ini menjadi sangat mirip dengan AMR blok-terstruktur.

Saya menyarankan Beylkin dan Keizer (1997) sebagai pengantar praktis untuk memecahkan PDE dengan wavelet. The MADNESS kode didasarkan pada metode ini. Ini memiliki dukungan untuk batas terendam (lihat Reuter, Hill, dan Harrison 2011 ), tetapi tidak memiliki cara yang efisien untuk mewakili lapisan batas dalam geometri yang rumit. Perangkat lunak ini sering digunakan untuk masalah kimia di mana geometri tidak menjadi perhatian.

Untuk analisis numerik umum wavelet, saya menyarankan buku Cohen 2003 . Ini menyajikan kerangka analisis di mana solusi kontinum dimanipulasi sampai Anda ingin mengevaluasinya ke akurasi yang diberikan, di mana titik dasar wavelet dievaluasi sesuai kebutuhan.