Algoritma kuantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Jumlah qubit yang dibutuhkan

Ini adalah kelanjutan dari algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Kebingungan mengenai penggunaan algoritma estimasi fase

Pertanyaan (lanjutan):

Bagian 2: Saya tidak yakin berapa banyak qubit akan diperlukan untuk Langkah 1 dari HHL09 .

Dalam Nielsen dan Chuang (bagian 5.2.1, edisi ulang tahun ke 10) mereka mengatakan:

Jadi untuk berhasil mendapatkan akurat ke n- bit dengan probabilitas keberhasilan setidaknya 1 - ϵ kita pilih$\varphi$$n$$1-\epsilon$

$$t=n+\lceil { \log(2+\frac{1}{2\epsilon})\rceil}$$

Jadi, katakan kita menginginkan akurasi yaitu 1 - ϵ = $90\%$ dan ketepatan 3 -bits untuk λ j$1-\epsilon = 0.9 \implies \epsilon = 0.1$$3$ atauλj yangkita butuhkan$\frac{\lambda_j t}{2\pi}$$\lambda_j$

Selain itu, sejak dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari N vektor eigen bebas linear dari N × N matriks dimensi A , kita akan membutuhkan minimal ⌈ log 2 ( N ) ⌉ qubit untuk menghasilkan ruang vektor memiliki setidaknya N - dimensi. Jadi, kita perlu ⌈ log 2 ( N ) ⌉ untuk register kedua.$|b\rangle$$N$$N\times N$$A$$\lceil{\log_2(N)\rceil}$$N$$\lceil{\log_2(N)\rceil}$

Sekarang, untuk register pertama kita tidak hanya qubit tidak akan cukup untuk mewakili nilai eigen N | λ j ⟩ , itu karena kita akan membutuhkan lebih banyak bit untuk mewakili masing-masing | λ j ⟩ tepatnya upto n -bits.$\lceil{\log_2(N)\rceil}$$N$$|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$$n$

Saya kira kita harus kembali menggunakan rumus dalam hal ini. Jika kita ingin masing-masing nilai eigen| λi⟩untuk diwakili dengan3-bit presisi dan90%akurasi maka kita akan membutuhkan6×⌈log2(N)⌉untuk mendaftar pertama. Plus, satu lagi qubit yang dibutuhkan untuk ancilla.

Jadi, kita perlu total qubit untuk Langkah 1 dari algoritma HHL09 . Cukup banyak!$(6+1)\lceil{\log_2(N)\rceil}+1$

Katakanlah kita ingin memecahkan sistem persamaan linear sehingga A adalah Hermite itu sendiri akan membutuhkan 7 ⌈ log 2 ( 2 ) ⌉ + 1 = 8 qubit! Jika A bukan Hermitian, kita akan membutuhkan lebih banyak qubit. Apakah saya benar?$2\times 2$$A$$7\lceil{\log_2(2)\rceil}+1 = 8$$A$

Namun, dalam makalah ini ^{[ ]$\dagger\dagger$} pada halaman 6 mereka mengklaim bahwa mereka menggunakan algoritma HHL09 untuk memperkirakan pseudoinverse dari yang ukuran ~ 200 × 200 . Dalam makalah itu, A didefinisikan sebagai:$A$$200\times 200$$A$

di mana , W dan saya d semua d × d matriks.$P$$W$$\Bbb I_d$$d\times d$

Dalam H1N1 terkait simulasi Lloyd et al. telah mengklaim telah membuat, . Dan mereka lebih lanjut mengklaim bahwa mereka menggunakan algoritma HHL09 untuk memperkirakan pseudo-invers dari A (yang berukuran 200 × 200 ). Itu membutuhkan minimal 7 ⌈ log 2 ( 200 ) ⌉ + 1 = 7 ( 8 ) + 1 = $d = 100$$A$$200\times 200$$7\lceil{\log_2(200)\rceil}+1 = 7(8)+1 = 57$qubit untuk disimulasikan. Saya tidak tahu bagaimana mereka bisa melakukannya dengan menggunakan komputer kuantum saat ini atau simulasi komputer kuantum. Sejauh yang saya tahu, IBM Q Experience saat ini mendukung ~ qubit (itu juga tidak serbaguna seperti versi 5- qubit mereka ).$15$$5$

Apakah saya melewatkan sesuatu di sini? Apakah Langkah 1 ini sebenarnya membutuhkan jumlah qubit yang lebih sedikit daripada yang saya perkirakan?

[ ]: Jaringan Saraf Quantum Hopfield Lloyd et al. (2018)$\dagger\dagger$

$N\times N$$N$$\vec{b}_i$$N$$\vec{b}_i$

$N \times N$

Jumlah qubit yang diperlukan untuk estimasi fase ditulis di halaman 249 dari edisi peringatan 10 tahun N&C:

$t$

$|u\rangle$$|u\rangle$$N$

$6$$\log N=8$

Ini adalah 14 qubit total untuk melakukan bagian fase esitimasi dari setiap iterasi HHL yang terlibat dalam menghitung kebalikan dari sebuah matriks. 14 qubits baik dalam kemampuan laptop.