Apakah kontrol kuantum memungkinkan untuk menerapkan gerbang apa pun?

Menggunakan teknik kontrol kuantum dimungkinkan untuk mengontrol sistem kuantum dalam berbagai skenario yang berbeda (misalnya 0910.2350 dan 1406.5260 ).

Secara khusus, ditunjukkan bahwa dengan menggunakan teknik ini dimungkinkan untuk menerapkan gerbang seperti gerbang Toffoli (kuantum) ( 1501.04676 ) dengan kesetiaan yang baik. Lebih tepatnya, mereka menunjukkan bahwa diberi gerbang Toffoli , didefinisikan sebagai gerbang C-CNOT dan Hamiltonian bergantung waktu berisi serangkaian interaksi tertentu, orang dapat menemukan serangkaian parameter tergantung waktu) dari sedemikian rupa sehingga $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$

U_{Toff} \equiv | 0 ⟩_{1} ⟨ 0 | \otimes CNOT + | 1 ⟩_{1} ⟨ 1 | \otimes I,

$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$

H (t)

$H(t)$

H (t)

$H(t)$

T \exp (- i \int_{0}^{Θ} H (τ) d τ) ≃ U_{Toff} .

$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$

Adakah hasil yang diketahui tentang universalitas pendekatan semacam itu? Dengan kata lain, apakah alat yang disediakan oleh teori kontrol kuantum memungkinkan untuk mengatakan kapan, mengingat serangkaian kendala pada parameter Hamiltonian yang diizinkan, gerbang target yang diberikan dapat direalisasikan? (1)

Lebih tepatnya, masalahnya adalah sebagai berikut: memperbaiki gerbang target bertindak atas seperangkat qubit (atau lebih umum qudit), dan Hamiltonian parametris dari bentuk , di mana adalah himpunan operator (Hermitian) yang tetap, dan adalah parameter yang bergantung pada waktu untuk ditentukan. Apakah ada cara untuk mengetahui apakah ada koefisien sedemikian rupa sehingga $\mathcal U$ $H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$ $\{\sigma_k\}_k$ $c_k(t)$ $\{c_k(t)\}_k$

T \exp (- i \int_{0}^{Θ} H (τ) d τ) \overset{?}{=} U .

$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$

(1) Perhatikan bahwa saya di sini berbicara tentang kontrol kuantum hanya karena itu adalah istilah yang digunakan di koran. Jika ini bukan istilah yang paling cocok untuk digunakan untuk merujuk pada masalah seperti ini, beri tahu saya.

Selain itu, perhatikan juga bahwa masalah yang diselesaikan di koran sedikit berbeda dari yang saya nyatakan di sini. Secara khusus, Hamiltonian mereka anggap benar-benar bertindak dalam ruang tiga qudit empat- dimensi, dan Toffoli hanya diimplementasikan sebagai dinamika yang efektif di tingkat yang lebih rendah dari setiap ququart. Saya juga oke dengan hasil semacam ini tentunya.

quantum-gate quantum-control glS
sumber

Apa peran yang dimainkan kontrol optimal di sini?

Norbert Schuch

@NorbertSchuch apa maksudmu? Saya merujuk pada makalah terkait (Zahedinejad 2015), yang secara eksplisit berbicara tentang menerapkan gerbang melalui kontrol kuantum. Jika Anda mengacu pada kontrol optimal (yang tidak saya sebutkan secara eksplisit di sini) sebagai lawan dari kontrol kuantum , saya tidak yakin apa perbedaan pastinya, sesuai pertanyaan saya yang lain

glS

Universalitas adalah tentang apakah mungkin untuk melakukan operasi tertentu. Kontrol kuantum (atau bagaimanapun Anda menyebutnya) adalah tentang cara melakukan operasi tertentu dengan baik. Ini adalah dua pertanyaan yang berbeda. Pertanyaan Anda tentang universalitas, yang independen dari pendekatan mana yang digunakan untuk melakukan gerbang. Jika Anda bertanya tentang implementasi yang efisien, itu mungkin sedikit berbeda.

Norbert Schuch

@NorbertSchuch menarik, saya mungkin memiliki beberapa kesalahpahaman tentang apa artinya kontrol kuantum (btw, mungkin Anda juga bisa menjawab pertanyaan saya yang lain untuk membantu saya mengerti?). Apakah Anda mengatakan bahwa itu "sepele" bahwa kontrol kuantum memungkinkan untuk menerapkan gerbang apa pun, dan karena itu bukan pertanyaan yang layak?

glS

Dalam makalah yang ditautkan penulis menyatakan bahwa: " Kami memperkenalkan pendekatan kontrol-kuantum yang tidak rakus untuk langsung membangun gerbang Toffoli (...) Kami menunjukkan bahwa skema kami (...) harus menghasilkan gerbang Toffoli (...) ". Ini membuat saya berpikir bahwa mereka mengatakan bahwa pendekatan kontrol kuantum mereka memungkinkan mereka untuk mengimplementasikan gerbang itu. Apakah ini bukan pertanyaan yang tepat untuk bertanya apa pertanyaan lain yang dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang sama?

glS

Jawaban:

Ada konsep kemampuan kontrol dari sistem kuantum, yaitu apakah serangkaian kontrol yang diberikan memungkinkan Anda untuk membuat negara bagian atau kesatuan? Biasanya ini dihitung dengan melihat Aljabar Kebohongan sistem, dan bisa sangat berantakan; Anda perlu mengambil ketentuan Hamiltonian individu yang dapat Anda kontrol, dan menghitung semua komutator mereka untuk pesanan sewenang-wenang. Jika Anda dapat mengambil kombinasi linear dari itu dan membuat Hamiltonian yang sewenang-wenang, maka ruang Hilbert penuh Anda dapat dikontrol; Anda dapat membuat kesatuan apa pun yang Anda inginkan, dan setiap status kuantum dikatakan dapat dijangkau dari yang lain. Lihat Kontrol lengkap sistem kuantum (PRA 2001) untuk contoh.

Namun, satu poin penting untuk ditekankan adalah bahwa ini tidak memberi tahu Anda apa-apa tentang efisiensi, yaitu berapa lama waktu yang diperlukan untuk mencapai kondisi tertentu (sebagai fungsi dari ukuran sistem). Ada konstruksi eksplisit yang dapat Anda buat berdasarkan dekomposisi di atas dalam hal komutator, tetapi waktu yang dibutuhkan timbangan secara eksponensial sesuai dengan urutan komutator yang diperlukan. Teknik numerik teori kontrol adalah metode yang berupaya menemukan bidang kontrol yang diperlukan (sebagai fungsi waktu) dengan cara yang lebih efisien, tetapi (sepengetahuan saya) jarang memberi Anda jaminan. Jadi, jika Anda telah memperbaiki dan dibatasi , konsep mungkin tidak cukup. $\Theta$ $c_k(t)$

DaftWullie
sumber

Kontrol kuantum tidak selalu memungkinkan penerapan sembarang gerbang. Bayangkan kontrol Anda terhadap sistem adalah energi yang tergantung waktu. Itu sesuai dengan Hamiltonian . Maka Anda hanya dapat memutar sekitar satu sumbu bola Bloch dan satu-satunya pilihan Anda adalah seberapa cepat untuk memutar kapan. Ini jelas tidak cukup untuk menghasilkan gerbang qubit tunggal yang sewenang-wenang karena dengan begitu Anda harus dapat melakukan rotasi terhadap sumbu (sembarang) apa pun. $\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

Saya tidak bisa menjawab bagian kedua dari pertanyaan Anda, tentang hasil yang diketahui untuk universalitas. Namun, perhatikan bahwa saya memilih kasus yang sangat khusus untuk menggambarkan bahwa kontrol kuantum sederhana tidak cukup. Bayangkan saya telah memilih Hamiltonian . Ini adalah rotasi konstan sekitar satu sumbu (karena perbedaan energi antara dua status qubit tunggal yang terlibat) ditambah rotasi yang Anda kontrol penuh tentang sumbu ortogonal. Karena Anda dapat menghasilkan rotasi sewenang-wenang dengan kombinasi yang sesuai dari rotasi tersebut, ini bersifat universal (untuk sistem qubit tunggal). Ini adalah upaya saya untuk menggambarkan bahwa tidak memiliki kontrol universal jika Anda memiliki kontrol apa pun dapat dilihat sebagai kasus khusus daripada aturan. $\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$ $E_0$

piramida
sumber

ya tentu saja kamu benar. Memang, saya bertanya tentang hasil yang dapat memberi tahu Anda apakah diberikan satu set kendala dan istilah interaksi gerbang tertentu dapat direalisasikan atau tidak. Pada dasarnya, jika ada yang diketahui tentang bagaimana pendekatan dalam makalah yang saya

tautkan