Diberikan dekomposisi untuk

13

Misalkan kita memiliki dekomposisi rangkaian kesatuan $U$ menggunakan beberapa set gerbang universal (misalnya gerbang CNOT dan kesatuan qubit tunggal). Apakah ada cara langsung untuk menuliskan rangkaian klik yang sesuai dikendalikan kesatuan $C_U$ menggunakan gerbang yang sama universal set?

Sebagai contoh, ambil , sebagai rangkaian: $U=i Y = H X H X$

Kita bisa mengganti gerbang dengan gerbang (CNOT) untuk mendapatkan : $X$ $C_X$ $C_U$

Ini berfungsi karena jika qubit kontrol dalam keadaan tindakan pada target adalah , sedangkan untuk $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ itu berlaku sirkuit untuk . Untuk berbeda, khususnya jika ia bekerja pada beberapa qubit, membuat rangkaian seperti itu mungkin rumit. Apakah ada resep untuk mendapatkan rangkaian mengingat bahwa Anda tahu bagaimana membangun ? $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

quantum-gate circuit-construction universal-gates gate-synthesis M. Stern
sumber

apakah Anda bertanya bagaimana membangun CU dari U-qubit satu yang sewenang-wenang? Metode untuk melakukannya dapat ditemukan di bab 4 dari N&C (lihat misalnya gambar 4.6 dalam edisi terakhir), yang pada dasarnya adalah generalisasi dari dekomposisi yang Anda perlihatkan

glS

@ GLS oh wow, saya tidak menyadarinya. Tampak persis seperti contoh saya. Baik untuk melihat bagaimana mengimplementasikan fase

. Tetapi mereka sepertinya tidak membahas generalisasi untuk lebih banyak target qubit?

α

$\alpha$

M. Stern

15

Pertanyaannya mungkin tidak sepenuhnya terdefinisi dengan baik, dalam arti bahwa untuk meminta cara menghitung dari dekomposisi Anda perlu menentukan set gerbang yang ingin Anda gunakan. Memang, ini adalah hasil yang diketahui bahwa setiap gerbang -qubit dapat didekomposisi secara tepat menggunakan dan single-qubit, sehingga jawaban yang naif untuk pertanyaan tersebut adalah: cukup dekomposisi $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ menggunakan qubit tunggal dan s. $C(U)$ $\text{CNOT}$

Interpretasi berbeda dari pertanyaan adalah sebagai berikut: diberikan , dapatkah saya menghitung menggunakan satu set operasi qubit tunggal dan $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ s tidak pada qubit kontrol , dan s dengan kontrol menjadi qubit pertama? Ini dapat dilakukan generalisasi hasil yang ditemukan dalam bab empat dari Nielsen & Chuang . $\text{CNOT}$

Biarkan menjadi gerbang qubit tunggal. Maka dapat dibuktikan bahwa selalu dapat ditulis sebagai , di mana adalah gerbang Pauli X, dan dan adalah operasi single-qubit sehingga ( lihat N&C untuk bukti). Maka $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ mana adalah gerbang fase yang diterapkan ke qubit pertama, dan adalah diterapkan pada qubit kedua. Ini segera setelah Anda menyadari bahwa, jika qubit pertama adalah , maka

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ menjadi identitas, dan pada qubit kedua Anda memiliki operasi

, yang memberikan identitas. Di sisi lain, jika qubit pertama adalah

, maka pada rel kedua Anda memiliki

, yang (bersama-sama dengan fase) sama

dengan definisi.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Dekomposisi di atas dapat digunakan untuk menemukan cara naif untuk menghitung untuk gerbang kesatuan -qubit umum . Pengamatan utama adalah bahwa jika untuk setiap set gerbang , lalu $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Tetapi kita juga tahu bahwa setiap -qubit dapat didekomposisi dalam hal CNOT dan operasi single-qubit. Oleh karena itu, adalah urutan operasi CCNOT dan , di mana CCNOT di sini adalahgerbang diterapkan ke beberapa qubit yang dikondisikan untuk dua qubit lain yang sedang , dan adalah operasi single-qubit pada beberapa qubit. Tetapi sekali lagi, setiap operasi CCNOT (juga disebutToffoli), dapat didekomposisi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.9 dalam N&C, dan

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ didekomposisi seperti yang ditunjukkan pada bagian pertama dari jawaban.

Metode ini memungkinkan penguraian hanya menggunakan gerbang kesatuan -qubit umum $n$ $U$ dan qubit tunggal. Anda kemudian dapat melangkah lebih jauh dan menggeneralisasi ini untuk menemukan dekomposisi untuk kasus beberapa qubit kontrol. Untuk ini, Anda sekarang hanya perlu cara untuk menguraikan gerbang Toffoli, yang lagi-lagi ditemukan pada Gambar 4.9 dari N&C. $\text{CNOT}$

glS
sumber

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

Meskipun ini mungkin tidak menjawab pertanyaan Anda sepenuhnya, saya pikir itu mungkin memberikan beberapa arah pemikiran. Berikut adalah dua fakta penting:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$ .
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$ .

$n\times n$ kasus, mengingat titik pertama, meskipun saya belum menemukan kertas yang melakukan itu secara eksplisit.

1 Gerbang dasar untuk perhitungan kuantum-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Realisasi Optimal Gerbang Kesatuan Terkendali - Guang Song, Andreas Klappenecker (Universitas A&M Texas)

Sanchayan Dutta
sumber

Diberikan dekomposisi untuk

Jawaban: