Mengapa kita dapat mengabaikan istilah inersia (tetapi tidak kental) dalam Navier-Stokes pada aliran rendah dan viskositas tinggi?

Mengapa kita dapat mengabaikan istilah inersia (tetapi tidak kental) dalam Navier-Stokes pada aliran rendah dan viskositas tinggi?

Lengkapi Navier-Stokes:$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Istilah inersia: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

Dan seperti yang kita asumsikan aliran stasioner dan laju rendah: . Dan dengan demikian istilah inersia dapat diabaikan.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Namun dalam materi saya juga dinyatakan bahwa akan menjadi istilah yang mendominasi selama keadaan ini. Mengapa tidak demikian sehingga juga?$\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Biasanya apa yang tersirat oleh debit rendah dan viskositas tinggi adalah bahwa kita berhadapan dengan apa yang disebut aliran bilangan rendah Reynolds. Angka Reynolds adalah angka tanpa dimensi yang merupakan rasio gaya inersia ( ) dan gaya viskos ( ): Untuk gaya kental rendah mendominasi (rezim laminar) dan untuk gaya inersia tinggi mendominasi (rezim turbulen). Angka tanpa dimensi seperti$\rho U U$$\mu U/L$

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$$ $\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$muncul secara alami melalui proses yang dikenal sebagai 'penskalaan' di mana persamaan dibuat non-dimensi; melalui proses ini maka dimungkinkan untuk mengatakan istilah mana yang dapat diabaikan berdasarkan nilai angka tanpa dimensi yang relevan. Untuk informasi lebih lanjut, periksa jawaban saya untuk pertanyaan ini .

Secara teknis, mengatakan 'aliran rendah dan viskositas tinggi' tidak cukup untuk mengatakan kita berurusan dengan aliran karena juga tergantung pada skala panjang (biasanya diameter pipa, dll) dan kepadatan ( udara atau air), tetapi biasanya tersirat demikian.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Sekarang mengatakan untuk laju alir rendah bahwa salah; yang mungkin Anda maksud adalah . Ini membenarkan penyederhanaan persamaan dengan mengatakan bahwa yang secara fisik berarti bahwa istilah inersia benar-benar dapat diabaikan dibandingkan dengan istilah kental. tidak menyiratkan bukan dengan laju alir rendah menyiratkan sementara bisa signifikan. Pertimbangkan taksiran urutan magnitudo dari$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$; untuk nilai-nilai (berkontribusi pada ), mungkin lebih besar daripada urutan . Analisis urutan magnitudo yang serupa dari istilah kental menunjukkan bahwa ini akan menjadi lebih signifikan. Oleh karena itu, alasan mengapa istilah inersia dapat diabaikan tetapi istilah kental tidak.$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

Karena istilah akhir sebanding dengan , dan bukan, istilahnya bisa besar bahkan jika besarnya kecepatan kecil. Pertimbangkan kasus sederhana aliran laminar tanpa-selip dalam pipa berorientasi-x. Ini adalah aliran searah, sehingga kita dapat membuang dan dan fokus pada . Kami akan menganggap bahwa kecepatan aliran kecil.$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

Hanya karena umumnya kecil, namun, tidak berarti kita dapat menyimpulkan bahwa juga umumnya kecil. Bahkan, semakin sempit pipa, semakin besar besarnya . Melihat bidang gradien dari kecepatan horizontal, kita melihatnya cenderung mengarah ke dalam, menuju pusat pipa, di mana kecepatannya maksimum. Ini berarti kita memiliki divergensi negatif, yang besarnya tergantung pada ketajaman variasi dalam kecepatan, dan bukan besarnya keseluruhannya.$u$$\nabla u$$\nabla u$

Karenanya tidak signifikan, yang tentu saja hanya Navier Stokes yang secara akurat memprediksi kecenderungan kekuatan kental yang menyebabkan penurunan tekanan dalam kondisi mantap, aliran pipa horizontal (atau Anda bisa menyebutnya perlunya penurunan tekanan untuk memaksa aliran melawan gaya viskos, seperti yang Anda inginkan). Batalkan istilah gravitasi dan waktu yang bervariasi dan lihat sendiri.$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$