Bagaimana gaya beban memengaruhi inersia beban?

Saya mencoba mensimulasikan winch sebagai motor yang diatur kecepatannya yang bekerja melalui gearbox untuk mengangkat massa. Output dari gearbox adalah drum, yang berputar untuk mengakumulasi kabel.

Aku merasa nyaman mengkonversi massa untuk momen inersia dan saya juga merasa nyaman dengan mengkonversi bahwa momen inersia (output-side) ke momen inersia "dilihat" oleh motor (input-side) dengan rasio gearbox . Dengan simulasi sederhana, saya tidak punya masalah menulis persamaan gerak.

Komplikasi saya muncul ketika saya ingin memodelkan "stretch" pada kabel. Saya pikir saya bisa melakukan ini dengan hanya meletakkan pegas kekakuan yang sewenang-wenang antara winch drum dan massa, seperti yang digambarkan di bawah ini.

Dengan model ini, demi simulasi, saya berasumsi saya tahu "tinggi drum", yang akan menjadi seberapa jauh drum telah berubah dikalikan dengan jari-jari drum, dan ketinggian beban. Kekuatan pegas akan menjadi$k(\phi r - y)$, tetapi bagaimana saya menerapkan ini ke motor ?

Saya punya model motor:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ dan model pengontrol PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ dimana $\Theta$ adalah kecepatan motor, $V$ adalah tegangan terminal, $J$ adalah inersia beban dan mesin, dan $R_a$, $K_T$, dan $K_b$ masing-masing adalah tahanan armature motor, torsi konstan, dan konstanta EMF belakang.

Interaksi yang saya tertarik pelajari terjadi ketika kontroler PI disetel ke inersia beban yang diantisipasi$J$, yang akan ditemukan dengan motor, gearbox, drum, dan beban massa, tetapi sistem sebenarnya "melihat" massa kenyal.

Penyederhanaan dilakukan dengan mengatur $k_i/k_p$ rasio sama dengan $K_TK_b/R_aJ$, memberi:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Catatan saya bisa pergi $k_p$ sebagai variabel karena rasio $k_i/k_p$ dapat diatur ke apa pun yang saya inginkan via $k_i$ selama $k_p$ bukan nol.)

Jadi, di dunia yang ideal , di mana nilai inersia "total"$J$ diketahui sebelumnya, kutub dibatalkan, dan seluruh sistem berkurang menjadi:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Akhirnya, $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$, jadi, dengan aljabar:

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Jadi, agak menyesal dengan shotgun begitu detail, tetapi saya ingin mengesankan pada siapa pun yang membaca bahwa saya merasa yakin dengan semua langkah saya sejauh ini dan bahwa saya telah menghabiskan banyak upaya untuk mengatasi masalah ini. Sekarang, lagi untuk pertanyaan saya - saya ingin mensimulasikan peregangan di kabel antara drum dan beban, tapi saya tidak yakin bagaimana menggunakan gaya pegas untuk memodulasi inersia beban.

Satu pemikiran yang saya miliki adalah mencoba memalsukan "massa setara", dengan mengasumsikan:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

tetapi ini terasa tidak benar, dan saya tidak yakin apa yang akan saya gunakan untuk akselerasi $a$.

Saya frustrasi sejauh ini dalam masalah dan menjadi bingung dengan apa yang tampaknya menjadi masalah yang mudah, tetapi saya benar-benar tidak bisa memikirkan cara untuk mendekati masalah ini. Saya pikir jika saya bisa membingkainya dengan benar, saya bisa mengerjakan mekanika, tapi itu konversi paksa ke inersia yang saya rasa perlu dibuat yang membuat saya bingung.

Akhirnya, sebagai catatan, saya juga telah mencoba melacak kembali model motor saya untuk memasukkan torsi beban. Ini memberikan hasil yang tampaknya masuk akal, tetapi pada akhirnya saya mengurangi torsi beban dari torsi motor untuk mendapatkan torsi neto, kemudian menerapkan torsi net ke total inersia untuk mendapatkan akselerasi motor. Itu memberi makan di telepon dan, sekali lagi, saya tidak yakin bahwa saya memperlakukan inersia total dengan benar.

Pertama mari kita menghitung modelnya. Desain kontrol adalah upaya terpisah.

Torsi yang diterapkan pada drum adalah $n T_M$, di mana n adalah rasio roda gigi dan $T_M$ adalah output yang dihasilkan oleh motor. $T_M= K_T i(t)$dimana $K_T$ adalah konstanta proporsionalitas dan $i(t)$ adalah arus motor.

Sekarang kita dapat menulis persamaan untuk sistem mekanik:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Di sini m adalah massa dan k adalah konstanta pegas.

Untuk menulis persamaan motor, kita perlu menentukan ggl kembali. Ggl belakang sebanding dengan kecepatan motor dan untuk menuliskannya dalam hal kecepatan gendang, kami mengalikannya juga dengan rasio gigi n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Sini $V(t)$ adalah tegangan yang diberikan, $L$ adalah induktansi, $R$ adalah perlawanan, dan $K_b$ adalah konstanta proporsionalitas.

Tiga persamaan ini ada $V(t)$ sebagai input dan $i(t)$,$\theta (t)$, dan $y(t)$sebagai status / keluaran. Ini dapat digunakan untuk mendapatkan model keadaan-ruang atau model fungsi-transfer. (Berikut ini diperoleh dengan menggunakan Mathematica)

Sekarang desain kontrol dapat dimulai ...

Memperbarui

Karena ada beberapa kebingungan tentang kelembaman yang akan digunakan, izinkan saya mengklarifikasi jawabannya. Saya akan mengasumsikan satu set roda gigi di gearbox - gigi dengan inersia$J_1$ di sisi drum dan gigi dengan inersia $J_2$ di sisi motor.

Dalam jawaban di atas saya mengabaikan inersia roda gigi. Satu-satunya perubahan yang perlu dilakukan sekarang adalah memodifikasi persamaan kedua sebagai berikut.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Jika persamaan untuk menggambarkan dinamika transien poros motor juga diinginkan maka itu adalah persamaan tambahan yang melibatkan $\theta_M$(Rotasi poros motor), inersia $J_2$, dll. Namun, ini tidak perlu jika tujuannya adalah untuk mengontrol posisi drum.

Regangkan di delta pegas $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$ Jadi delta Y tidak konstan tetapi jika Anda tertarik pada delt Y_max

delta $Y max = m/k$, oleh hukum Hooks.
Karena sistem Anda tidak berakselerasi kecuali di awal dan akhir dengan asumsi katrol mulai dan berhenti tiba-tiba itu yang Anda maksimal. Akselerasi start / stop bertahap harus dikurangi dari akselerasi pegas yang ada
$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

melihat diagram benda bebas massa
Seperti yang Anda catat adalah gaya$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
bagi kedua belah pihak dengan K kita dapatkan:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Saya harap ini akan membantu.

Saya menyadari ini adalah utas lama, dan saya tidak yakin seberapa dalam penyelaman Anda akhirnya mengambil ini, tapi satu hal yang saya tidak lihat diperhitungkan dalam persamaan Anda adalah gesekan drum / kabel. Ini akan menjadi kecil, dan seperti massa akumulasi dari tali kawat baja yang tidak Anda sertakan, mungkin tidak ada dalam daftar Anda. Kabel dapat direntangkan dan dimuat sebelumnya, namun setiap pergerakan antara kabel dan drum karena peregangan kabel juga akan mengalami gesekan. Dalam industri saya (rigging teater, desain panggung mesin), alur kontak area yang lebih besar daripada aplikasi drum datar, dan kami biasanya memiliki gesekan tambahan sepanjang berkas pengalihan dan bagal dalam garis untuk memperhitungkan terutama dalam 2: 1 atau 4: 1 sistem keunggulan mekanis.

Saya pikir pendekatan Suba Thomas memberikan model yang baik: mulai dengan jumlah gaya pada beban dan jumlah momen pada drum. Kemudian tentukan model motor yang dibutuhkan.

Model motor awal chuck membutuhkan sistem yang kaku di mana nilai tunggal untuk momen inersia dapat dihitung, sedangkan tujuan dari model ini adalah:

Interaksi yang saya tertarik pelajari terjadi ketika kontroler PI disetel ke inersia beban yang diantisipasi $J$, yang akan ditemukan dengan motor, gearbox, drum, dan beban massa, tetapi sistem sebenarnya "melihat" massa kenyal.

Satu catatan tentang inersia dalam persamaan momen drum dari Suba Thomas: Jangan lupa inersia motor meningkat ke drum. Tergantung pada motor yang dipilih, pengaruhnya bisa signifikan. Jadi saya akan memilih$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$