Dalam kondisi apa transformasi bintang-jala tidak dapat dibalik?

15

Kita semua tahu dan menyukai transformasi Δ-Y (delta-wye) dan Y-Δ (wye-delta) untuk menyederhanakan jaringan tiga-resistor:

masukkan deskripsi gambar di sini

Gambar dari Creative Commons

Transformasi Δ-Y dan Y-Δ memiliki properti bagus yang always selalu dapat diubah menjadi Y, dan Y selalu dapat diubah menjadi Δ, tidak peduli nilai resistansi yang terlibat.

Ada versi umum dari transformasi Y-Δ yang disebut transformasi bintang-mesh . Ini mengkonversi "bintang" dari resistor N menjadi "mesh" dari resistor N C 2 .NC2

masukkan deskripsi gambar di sini

Gambar dari Creative Commons

Wikipedia menunjukkan bahwa transformasi bintang-ke-jala akan selalu ada - tetapi transformasi terbalik, mesh-ke-bintang, mungkin tidak ada. Yakni:

Transformasi menggantikan resistor N dengan resistor N C 2 . Untuk N> 3, hasilnya adalah peningkatan jumlah resistor, sehingga transformasi tidak memiliki invers umum tanpa kendala tambahan.NC2

Apa kendala yang harus dipenuhi agar kebalikan ada?

Saya sangat tertarik dalam mengubah jaringan mesh 4-node menjadi jaringan bintang 4-resistor.


Motivasi untuk pertanyaan: Saya memiliki model sistem tenaga industri (benar-benar hanya jaringan yang sangat besar sumber tegangan konstan dan impedansi) yang mengandung ~ 2.000 node. Saya mencoba menguranginya menjadi hanya empat node yang menarik.


Edit:

Ada beberapa makalah yang diterbitkan tentang topik ini.

  • Versfeld, L., "Keterangan tentang transformasi bintang-mesh dari jaringan listrik," Electronics Letters, vol.6, no.19, pp.597.599, 17 September 1970

    Dua aspek baru dari transformasi bintang-mesh yang terkenal dipelajari: (a) kondisi yang diperlukan dan cukup untuk transformasi jaringan mesh umum yang diberikan menjadi jaringan bintang yang setara; (B) ekstensi ke jaringan yang mengandung sumber.

  • Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Transformasi bintang jala ," Surat Elektronik, vol.10, no.6, hlm.73,74, 21 Maret 1974

    Jaringan bintang setara ada untuk jaringan mesh tertentu jika yang terakhir memenuhi hubungan Wheatstone. Dengan menggunakan fakta ini, ditunjukkan bahwa semua kofaktor offdiagonal dari matriks penerimaan datum-node dari jaringan mesh tersebut adalah sama. Dari properti ini, hubungan sederhana antara elemen-elemen dari dua jaringan diturunkan.

Saya tidak memiliki akses IEEE Xplore jadi saya tidak bisa membacanya.

Li-aung Yip
sumber
@ user26129: Pertanyaan ini berada di jalur yang sama dengan pertanyaan analisis rangkaian yang sudah mendapatkan banyak EE.SE. Satu-satunya bagian yang tidak biasa adalah bahwa itu bukan kursus sarjana, dan itu adalah pertanyaan umum daripada latihan khusus dari buku teks.
Li-aung Yip
@ Li-aungYip: Saya tidak mempermasalahkan keabsahan memasukkan pertanyaan Anda di EE.SE, tapi saya yakin Anda akan mendapatkan respons yang lebih banyak dan lebih baik di tempat lain. Saya mencoba membantu Anda mendapatkan jawaban, bukan mencoba
menurunkan
@ user26129: Ah! Dalam kasus apa pun, jawaban yang diinginkan ada di kertas Electronic Letters yang ditautkan - Saya mencoba untuk mendapatkan salinannya sehingga saya dapat membacanya dan memposting bagian terkait sebagai jawaban di sini.
Li-aung Yip
1
@ Li-aungYip yah, jika hanya itu yang Anda butuhkan ... efficientelectronics.nl/04245011.pdf
user36129
Saya tidak benar-benar mendapatkan cara menghitung berbagai hambatan di jaring jala yang diberikan resistor jaring bintang, tetapi karena jumlah resistor meningkatkan kendala tambahan yang Anda cari harus sewenang-wenang. Memecahkan persamaan untuk inverse transform lead menjadi sistem persamaan yang memiliki lebih banyak variabel daripada persamaan, jadi Anda tinggal memilih beberapa hambatan lalu menghitung yang lain.
Vladimir Cravero

Jawaban:

2

NbNb=NeNvNeNvGABGCD=GACGBD=GADGBC

GXY=GXGYGTOTGTOT=i=1nGiGXY0GXGY=GXZGYZGAGB=GACGBC=GADGBDGACGBD=GADGBC. We get the same result from: GCGD=GACGAD=GBCGBD. From the last 4 equations we obtain GABGCD=GADGBC and GABGCD=GACGBD and so we finally have the GABGCD=GACGBD=GADGBC condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the GTOT depending on only one of those, like GTOT=GA+GB+GC+GD=GA(1+β+γ+δ), where β=GBGA=GBCGAC=GBDGAD, and so on..GAB=GAGBGTOT=GAGBGA(1+β+γ+δ)=GB(1+β+γ+δ)GB=GAB(1+β+γ+δ). With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

MatteoDL
sumber
Are GABGCD=GACGBD=GADGBC necessary conditions, sufficient conditions, or necessary and sufficient conditions?
Li-aung Yip
0

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.

Kaz
sumber