Apakah gelombang segitiga memiliki komponen sinusoidal yang terbatas atau tidak terbatas?

22

Diskontinuitas menyebabkan sinyal memiliki komponen sinusoidal tak terbatas, tetapi gelombang segitiga kontinu, saya mengambil kelas di mana seorang instruktur mengatakan bahwa karena gelombang segitiga kontinu dapat diwakili oleh jumlah terbatas komponen sinus dan juga menunjukkan penambahan terbatas dari beberapa frekuensi sinusoid yang memberikan bentuk gelombang segitiga murni.

Satu-satunya masalah yang ada dalam pikiran saya adalah bahwa turunan dari gelombang segitiga tidak kontinu karena merupakan gelombang persegi dan karenanya akan membutuhkan jumlah sinusoid yang tidak terbatas sehingga jika seseorang menurunkan kedua sisi rumus deret Fourier dari gelombang segitiga , kita akan mendapatkan gelombang persegi yang ditunjukkan sebagai jumlah sinusoid terbatas. Bukankah itu salah?

fourier Syed Mohammad Asjad
sumber
10
Gelombang segitiga memang memiliki deret Fourier infinate. Ingat bahwa tutor bisa keliru.
Autistik
Apa yang dikatakan instruktur Anda ketika Anda bertanya kepadanya?
Solar Mike
5
@Syed Mohammad Asjad: alasan Anda dengan turunannya benar. Mungkin Anda memiliki pemahaman yang lebih baik tentang masalah ini daripada instruktur Anda.
Curd
6
Bahkan, untuk memiliki deret Fourier yang terbatas, fungsi dan SEMUA turunannya harus kontinu. Semua turunan dari sinusoid bersifat kontinu, dan ini juga berlaku untuk jumlah sinusoid yang terbatas.
Dave Tweed
1
Bukan jawaban, tetapi: Seri Fourier dengan koefisien hingga sangat terbatas. Sebagian besar fungsi periodik memiliki deret Fourier yang tak terbatas. Namun, semakin halus fungsinya, semakin cepat peluruhan koefisien pada tak terhingga. Jika suatu fungsi k kali dibedakan dengan turunan terikat, maka koefisien Fourier (c_n) meluruh secepat 1 / n ^ (k + 1), seperti yang dapat dilihat dengan induksi. Untuk fungsi analitik (fungsi dengan deret Taylor konvergen, yaitu. Bahkan lebih halus daripada terdiferensiasi jauh), peluruhannya eksponensial. Segitiga memiliki deret Fourier yang persis 1 / n ^ 2.
Alexandre C.

Jawaban:

21

gelombang segitiga kontinu

Kutipan dari sini : -

Gelombang segitiga tidak memiliki lompatan terputus-putus, tetapi kemiringannya berubah dua kali per siklus secara tidak terputus

Memiliki perubahan kemiringan yang terputus-putus juga berarti berbagai komponen sinusoidal.

Sebagai contoh, jika waktu Anda mengintegrasikan gelombang persegi Anda menghasilkan gelombang segitiga tetapi, semua hamonics dari gelombang persegi asli masih ada setelah integrasi waktu: -

masukkan deskripsi gambar di sini

Andy alias
sumber
Sudah memikirkan hal yang sama, representasi graohis membantu banyak, terima kasih :)
Syed Mohammad Asjad
21
Instruktur mengatakan bahwa karena gelombang segitiga kontinu dapat diwakili oleh jumlah sinus yang terbatas

Anda juga tidak mendapatkan ini dengan benar atau instruktur salah bicara. Itu tidak cukup untuk sinyal itu sendiri menjadi kontinu, tetapi semua turunannya harus kontinu juga. Jika ada diskontinuitas dalam turunan apa pun, maka sinyal berulang akan memiliki serangkaian harmonik yang tak terbatas.

Segitiga kontinu, tetapi turunan pertamanya adalah gelombang persegi, yang tidak kontinu. Gelombang segitiga karena itu memiliki serangkaian harmonik yang tak terbatas.

Olin Lathrop
sumber
1
Tidak salah dengar, dia juga tidak salah bicara karena dia mengatakannya dua kali dan juga bertanya kepada kelas nanti apa yang dia katakan, dan persis apa yang saya pikirkan :)
Syed Mohammad Asjad
@SyedMohammadAsjad Anda berdua benar. Dari google; misspeak: "ungkapkan diri Anda dengan cara yang tidak jelas atau akurat." Saya pikir salah satu dari Anda menggunakan "tidak cukup jelas" dan yang lainnya menggunakan "kurang akurat".
uhoh
Meskipun kata-kata dari jawaban ini agaknya menyarankannya, fakta bahwa semua turunan ada (dan karenanya kontinu, dengan adanya turunan berikutnya), masih jauh dari cukup untuk memiliki deret Fourier yang terbatas. Kebanyakan seri Fourier untuk sinyal periodik, namun mulus (kelas $ \ mathcal C ^ \ infty $, atau bahkan analitik) memiliki banyak komponen bukan nol; sulit untuk menghasilkan deskripsi dari mereka yang tidak lain adalah "jumlah terbatas sinus dan cosinus". Semua yang tersirat dari kelancaran adalah koefisien yang cenderung 0.
Marc van Leeuwen
filter bata dapat membuat jumlah harmonik menjadi terbatas dan masih terlihat / \ / \ / \ / \ / \ / trinagular dengan setidaknya 20, jauh dari infinte
Tony Stewart Sunnyskyguy EE75
11

Bukti matematika:

Ambil fungsi yang terdiri dari jumlah tertimbang dari serangkaian komponen sinus / kosinus yang terbatas.

Turunannya juga merupakan jumlah tertimbang dari serangkaian komponen sinus / kosinus yang terbatas. Sama jika Anda menurunkan beberapa kali.

Karena sinus dan cosinus adalah kontinu, fungsi dan semua turunannya kontinu.

Dengan demikian, fungsi yang memiliki diskontinuitas dalam turunannya tidak dapat dibangun dengan serangkaian komponen sinus / kosinus yang terbatas.

peufeu
sumber
Persis seperti yang saya pikirkan, terima kasih :)
Syed Mohammad Asjad
Seharusnya "sinus dan cosinus halus" tidak hanya terus menerus - tetapi intinya benar, jumlah sinus dan cosinus terbatas sehingga tidak dapat memiliki diskontinuitas dalam salah satu turunannya
nimish
1
@nimish Dia membuktikan bahwa semua turunan adalah jumlah terbatas dari (co) sinus, oleh karena itu dia hanya membutuhkan kontinuitas dari (co) sinus, bukan kehalusan :-)
yo
Yap, ketinggalan itu. Meskipun dari analitikitas $ \ exp (z) $ untuk $ z \ dalam \ mathbb {C} $, tetap saja hal itu sepele.
nimish
Kudos untuk jawaban matematika yang menjelaskan matematika bukan hanya menempelkannya!
uhoh
7

Jawaban yang baik berlimpah di sini, tetapi itu benar-benar tergantung pada interpretasi Anda tentang "dapat diwakili oleh" .

Kita harus memahami bahwa gelombang segitiga adalah teori matematika yang tidak dapat benar-benar ada dalam kenyataan.

Secara matematis, untuk mendapatkan gelombang segitiga murni Anda memerlukan gelombang sinus harmonik dalam jumlah tak terbatas, tetapi untuk mendapatkan representasi gelombang segitiga, sebagian besar komponen tersebut terlalu kecil, tersesat dalam kebisingan latar belakang sistem, atau frekuensi tinggi seperti itu tidak lagi dapat ditularkan.

Dengan demikian, dalam praktiknya, Anda hanya memerlukan angka terbatas untuk mendapatkan representasi yang dapat digunakan. Seberapa baik Anda menginginkan representasi menentukan berapa banyak harmonisa yang perlu Anda gunakan.

Trevor_G
sumber
1
Itu memang salah satu hal untuk dilihat, saya pasti akan bertanya kepada guru saya jika dia bermaksud bahwa karena Anda benar, pada kenyataannya kita tidak pergi ke frekuensi yang tak terbatas sama sekali, bahkan dalam gelombang persegi (yang bukan t a pure square) :)
Syed Mohammad Asjad
Meskipun Anda benar bahwa gelombang segitiga adalah konstruksi matematika, alasan Anda salah. Fakta bahwa Anda tidak dapat membuatnya dari banyak harmonisa secara halus tidak memberikan bukti bahwa Anda tidak dapat membuatnya sama sekali.
yo
@yo 'memang itu adalah salah satu hal yang saya pikir banyak dari kita mengalami kesulitan dengan. Jika gelombang segitiga = jumlah gelombang sinus yang tidak terbatas di beberapa titik Anda tidak dapat menambahkan atau melewati harmonik. Jika itu hanya gelombang segitiga .... dihasilkan oleh beberapa cara lain ... lalu apa ... bagaimana Anda mentransmisikannya .. dan bagaimana hal yang mentransmisikannya mengetahui perbedaannya ... Memberi saya pikiran sakit kepala tentang hal itu .. Pada dasarnya, bahkan jika itu hanya sepotong kawat atau jejak PCB ... tidak bisa tanpa mendistorsi itu.
Trevor_G
1
Perbedaan antara ideal matematika dan dunia nyata, singkatnya.
peterG
3

Pendekatan lain.

Sebut x (t) gelombang segitiga dan y (t) turunannya, yang merupakan gelombang kuadrat, karenanya tidak kontinu.

Jika x (t) adalah jumlah terbatas dari sinyal sinusoidal, turunannya, dengan linieritas dari operasi itu, akan menjadi jumlah terbatas dari turunan dari sinyal sinusoidal, yaitu sekali lagi jumlah terbatas sinyal sinusoidal.

Tetapi sinyal yang terakhir ini tidak mungkin gelombang persegi y (t), karena jumlah sinyal sinusoidal yang terbatas adalah kontinu. Karenanya kita memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu x (t) harus memiliki komponen Fourier yang tak terbatas.

Lorenzo Donati mendukung Monica
sumber
2

Saya mengusulkan tes yang jauh lebih sederhana untuk digunakan dalam praktik. Jika gelombang memiliki sudut tajam, diperlukan komponen sinusiodal tak terbatas untuk dibangun.

Mengapa? Karena serangkaian sinusiod yang terbatas tidak dapat membuat sudut tajam. Ini dibuktikan dari induksi pada aturan dekomposisi jumlah (yaitu, Σ (a + b) = Σ a + Σ b untuk semua penjumlahan berhingga dan semua penjumlahan tak terbatas konvergen tanpa syarat).

Joshua
sumber
1

Himpunan fungsi yang dapat diekspresikan oleh deret Fourier yang terbatas adalah:

F: ={f(x)=Sebuah0+∑nn∈N(Sebuahncos⁡nx+bndosa⁡nx)}

Untuk semua set terbatas indeks N . Istilah-by-istilah diferensiasi menunjukkan bahwa yaitu turunan (1) terus menerus dan (2) juga di F . Karena turunan dari gelombang segitiga tidak kontinyu, fungsi gelombang segitiga tidak di F .

Bukti ini didasarkan dari diskontinuitas, tetapi sebagian besar fungsi kontinu juga tidak milik F . Karena tidak ada fungsi polinomial atau eksponensial yang dapat dinyatakan sebagai jumlah terbatas sinus dan kosinus, satu-satunya anggota F adalah yang ditulis secara eksplisit dalam bentuk di atas.

Jared Goguen
sumber