Kapan diperlukan atau diizinkan untuk sampel di bawah tingkat Nyquist

Saya telah mencari pertanyaan dan jawaban di platform ini tetapi tidak ada yang menjawab pertanyaan ini. Seorang prof mengatakan dimungkinkan untuk sampel di bawah tingkat Nyquist dalam kondisi tertentu. Saya ingin tahu, pertama, apakah mungkin untuk melakukan ini, jika demikian, kapan?

Pertama-tama, mari kita hilangkan kesalahpahaman tingkat Nyquist.

Orang biasanya diajarkan bahwa frekuensi pengambilan sampel minimum harus dua kali frekuensi dari frekuensi tertinggi dalam sinyal. Ini sepenuhnya salah!

Apa yang benar adalah bahwa jika Anda memiliki spektrum "penuh", dan secara penuh, maksud saya bahwa ia benar-benar menggunakan semua frekuensi antara tepi bawah bandwidth dan tepi atas bandwidth, maka Anda perlu memiliki frekuensi sampling setidaknya dua kali bandwidth sinyal.

Jadi dalam gambar di sini, frekuensi sampling harus minimal 2 * (Fh-Fl) untuk mendapatkan spektrum.

Anda juga perlu mengingat bahwa, setelah Anda melakukan pengambilan sampel, semua informasi tentang frekuensi aktual hilang dalam sinyal sampel. Di sinilah keseluruhan cerita tentang frekuensi Nyquist berperan. Jika frekuensi sampling adalah dua kali frekuensi tertinggi dari sinyal, maka kita dapat dengan aman mengasumsikan (seperti yang sering dilatih untuk dilakukan secara tidak sadar) bahwa semua frekuensi dalam sinyal sampel adalah antara nol dan setengah dari frekuensi sampling.
Pada kenyataannya, spektrum sinyal sampel bersifat periodik di sekitar Fs / 2 dan kita dapat menggunakan periodisitas itu untuk mencapai tingkat pengambilan sampel yang lebih rendah.
Lihatlah gambar berikut:
Area antara 0 dan Fs / 2 adalah zona Nyquist pertama. Ini adalah area di mana kita melakukan sampling "tradisional". Selanjutnya lihat area antara Fs / 2 dan Fs. Ini adalah zona Nyquist kedua. Jika kita memiliki sinyal di area ini, spektrumnya akan disampel dan spektrumnya akan dibalik, artinya, frekuensi tinggi dan frekuensi rendah akan dibalik. Selanjutnya, kita memiliki zona Nyquist ketiga, antara Fs dan 3Fs / 2. Sinyal di sini, ketika disampel, akan terlihat seolah-olah berasal dari zona pertama dan spektrumnya akan normal. Hal yang sama berlaku untuk semua zona lainnya, dengan aturan bahwa spektrum zona ganjil adalah normal dan spektrum zona genap genap dibalik.

Sekarang ini bertentangan dengan aturan "tradisional" tentang aliasing, karena aliasing biasanya diajarkan ketika beberapa monster jahat datang untuk memakan sinyal Anda dan bahwa Anda harus menggunakan filter anti-aliasing low-pass untuk menghilangkannya. Dalam kehidupan nyata, ini bukanlah cara kerja yang sebenarnya. Filter anti-aliasing sebenarnya tidak bisa mencegah aliasing, mereka hanya membawanya ke tingkat di mana tidak penting lagi.
Yang sebenarnya ingin kami lakukan adalah menghilangkan sinyal kuat dari zona Nyquist yang tidak menarik dan membiarkan sinyal dari zona Nyquist yang menarik bagi kami. Jika kita berada di zona pertama, maka filter low-pass baik-baik saja, tetapi untuk semua zona lainnya, kita membutuhkan filter band-pas yang akan memungkinkan kita untuk mendapatkan sinyal yang berguna dari zona itu dan menghapus sampah yang kita tidak punya tidak perlu yang datang dari zona lain.

Jadi mari kita lihat contoh ini:

Di sini kita memiliki sinyal di zona Nyquist ketiga yang sedang dilewati oleh filter band-pass. ADC kita hanya perlu memiliki frekuensi sampling dua kali bandwidth sinyal untuk merekonstruksi, tetapi kita selalu perlu ingat bahwa ini sebenarnya adalah sinyal dari zona ketiga, ketika kita perlu menghitung frekuensi di dalam sinyal. Prosedur ini sering disebut sampling bandpass atau undersampling.

Sekarang, setelah semua paparan ini, untuk menjawab pertanyaan Anda ketika:
Baiklah, mari kita lihat radio, mungkin sesuatu dalam spektrum gelombang mikro, mungkin WiFi. Saluran WiFi gaya lama biasanya memiliki bandwidth 20 MHz, tetapi frekuensi operator sekitar 2,4 GHz. Jadi, jika kita mengambil pendekatan naif untuk mengambil sampel sinyal secara langsung, kita akan memerlukan 5 GHz ADC untuk melihat sinyal kita, meskipun kita hanya tertarik pada spektrum 20 MHz tertentu. Konverter analog ke digital 5 GHz adalah sesuatu yang sangat rumit dan mahal dan memerlukan desain yang sangat rumit dan mahal juga. Di sisi lain, ADC 40 MHz adalah sesuatu yang tidak "ajaib" seperti ADC 5 GHz.
Satu hal yang perlu diingat adalah bahwa, meskipun secara teori kita dapat menangkap sinyal dengan ADC 40 MHz, kita memerlukan filter anti-aliasing yang sangat tajam, jadi dalam praktiknya kita tidak benar-benar ingin menjalankan pengambilan sampel frekuensi terlalu dekat dengan bandwidth. Hal lain yang juga terlewatkan adalah bahwa sirkuit ADC kehidupan nyata berperilaku sebagai filter sendiri. Efek penyaringan dari ADC perlu diperhitungkan ketika melakukan pengambilan sampel band-pass. Cukup sering, ada ADC khusus dengan bandwidth yang jauh lebih lebar daripada laju pengambilan sampel yang dirancang khusus dengan mempertimbangkan band-pass sampling.

Akhirnya, ada sisi lain dari cerita yang disebut juga penginderaan terkompresi. Saya bukan ahli dalam hal itu, dan itu adalah sesuatu yang masih agak baru, tetapi ide dasarnya adalah bahwa jika asumsi tertentu dipenuhi (seperti spektrumnya jarang), kita dapat sampel pada frekuensi bahkan lebih rendah dari dua kali bandwidth. dari sinyal.

Jadi, banyak orang, termasuk profesor, bingung tentang apa nilai Nyquist:

Tingkat Nyquist adalah tingkat sampel yang harus Anda sampel sinyal untuk menghindari kerusakan dengan aliasing

Artinya adalah untuk sinyal bernilai nyata dan pengambilan sampel bernilai nyata, laju pengambilan sampel harus lebih dari dua kali bandwidth sinyal analog.

Itu berarti bahwa dengan laju sampling 6 kHz, Anda bisa mendapatkan representasi 100% dari pita lebar 3 kHz apa pun.

Ini tidak berarti bahwa laju sampling harus dua kali frekuensi tertinggi dalam sinyal. Jika 3 kHz Anda, misalnya, adalah band antara 9 kHz dan 12 kHz, Anda tidak perlu sampel pada 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz cukup untuk merepresentasikan sinyal secara digital. Anda masih perlu tahu bahwa 3 kHz Anda terpusat di sekitar 10,5 kHz, jika Anda ingin nanti menghubungkannya dengan sinyal lain, tetapi biasanya, itu tidak masalah.

Kami menyebut teknik ini undersampling , dan berfungsi dengan baik, dan merupakan teknik standar 100% dengan banyak aplikasi teknis. Yang perlu Anda pastikan adalah bahwa semua yang dilihat ADC (analog-ke-digital) Anda dibatasi hingga setengah tingkat pengambilan sampelnya - itu berarti, dalam contoh yang disebutkan di atas, Anda harus yakin bahwa tidak ada sinyal di bawah 9 kHz dan tidak ada sinyal di atas 12 kHz.

baseband kompleks

Perhatikan bahwa ini hanya berlaku untuk pengambilan sampel bernilai nyata. Jika Anda menggunakan hal-hal seperti demodulator IQ (juga dikenal sebagai mixer konversi langsung , demodulator quadrature ) untuk memberi Anda baseband yang kompleks dan setara , Anda mendapatkan dua aliran sampel sinkron. Dalam hal ini, faktor 2 hilang. Ini adalah aspek yang sangat penting untuk perangkat lunak yang ditentukan radio .

struktur polifase

Jika Anda berada di bagian akhir dari kursus DSP, profesor Anda mungkin telah mengisyaratkan fakta bahwa Anda dapat menerapkan hal-hal seperti resampler rasional, di mana Anda biasanya harus dikompensasikan dengan faktor M, lalu filter untuk menghapus semua gambar (filter berjalan pada laju input · M), lalu filter untuk menghindari semua alias (filter berjalan pada laju input · M) sebelum downsampling oleh N, dengan filter tunggal yang berjalan secara efektif pada 1 / N dari laju input - yang sebenarnya merupakan sub Pengambilan sampel -Nyquist. Tapi itu pada dasarnya akan menjadi salah satu sorotan dari kuliah sistem polifase / multirat, dan saya ragu dia akan memasukkannya ke kursus pemula - itu terlalu membingungkan.

Tidak pernah. Tetapi Anda perlu memastikan bahwa Anda benar-benar mengerti apa sebenarnya "tingkat Nyquist" itu.

Nyquist menyatakan bahwa Anda dapat merekonstruksi sinyal selama itu disampel pada laju yang lebih dari dua kali bandwidth sinyal. Bandwidth itu mungkin atau mungkin tidak dimulai pada DC, tetapi banyak sumber pada topik ini menganggap bahwa selalu demikian, dan bahwa komponen frekuensi tertinggi dari sinyal menentukan tingkat Nyquist.

Misalnya, jika Anda memiliki sinyal siaran AM pada 1 MHz yang dibatasi hingga ± 10 kHz, tingkat Nyquist untuk itu adalah 2 × 20 kHz = 40 kHz, bukan 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Seorang prof mengatakan dimungkinkan untuk sampel di bawah tingkat Nyquist dalam kondisi tertentu.

Jika yang Anda minati adalah menghitung nilai RMS dari suatu gelombang maka Anda dapat mencicipi di bawah nyquist: -

Bentuk gelombang biru juga merupakan gelombang sinus yang memiliki nilai RMS yang sama dengan aslinya. Yang harus Anda hindari adalah ini: -

Tepatnya dua sampel diambil setiap siklus dan tidak mungkin untuk mengetahui apakah sinyal aliased sebenarnya adalah bentuk gelombang merah atau bentuk gelombang hijau.

Kriteria nyquist memberi tahu Anda seberapa sering Anda perlu mengambil sampel untuk merekonstruksi sinyal yang dibatasi pita. Namun, tidak ada sinyal fisik yang terbatas, ini hanya idealisasi. Skema lain akan bekerja untuk pengambilan sampel sinyal ideal lainnya. Dengan memberi Anda informasi a-priori tentang sinyal, (bahwa itu terbatas pada pita), Nyquist memberi tahu Anda cara merekonstruksi seluruh sinyal dari beberapa sampel. Jika saya memberi Anda informasi a-priori yang berbeda, Anda dapat melakukan lebih baik daripada nyquist. Berikut ini sebuah contoh: sinyal ideal saya adalah linear yang bijaksana. Seseorang hanya perlu mengambil sampel sinyal-sinyal ini pada titik beloknya: sampel yang jauh lebih sedikit daripada yang dibutuhkan untuk sinyal-sinyal terbatas pita. Untuk merekonstruksi seluruh sinyal, gambar garis lurus di antara titik sampel. Anda dapat menyebutnya kriteria "Linequist". :)

Sinyal periodik dapat disampling dengan menggunakan laju sampling sub-Nyquist. Ini dieksploitasi dengan baik dalam osiloskop. Ada satu sampel yang disimpan untuk setiap pengulangan sinyal, tetapi pada posisi periode yang berbeda. Perlu 512 sampel? maka dibutuhkan 512 penuh sinyal.

Ketepatan:

Mudah untuk melihat bahwa gelombang sinus stasioner dapat ditangkap dengan cara ini. Tapi 512 sampel itu harus menutupi sinyal. Itu benar jika 256 dan harmonisa atas dapat dianggap sebagai nol.

Ini kadang-kadang sengaja dilakukan, misalnya dalam osiloskop pengambilan sampel (tidak sama dengan DSO, meskipun beberapa DSO juga merupakan sampel - tetapi osiloskop pengambilan sampel dapat menjadi perangkat yang sepenuhnya analog dan telah dibangun sejak 1950-an), untuk menangani periodik sinyal yang terlalu tinggi frekuensinya menjadi ekonomis untuk diperkuat atau diperlakukan dengan sirkuit linear - tidak banyak CRT osiloskop yang ada (ed) yang dapat menangani sinyal mentah 1GHz (beberapa memang ada!), namun 1GHz mudah ditangani oleh bahkan menggarisbawahi dengan teknologi 1960-an. Pada akhirnya, seluruh sistem berperilaku serupa (tidak identik) dengan penerima heterodyning. Meskipun tidak ada LO frekuensi tinggi gelombang kontinu, masih ada komponen frekuensi sangat tinggi yang disembunyikan (dan digunakan) dalam jam sampling yang digunakan:

Jelas, sinyal non-periodik tidak dapat diperiksa dengan cara itu, dan sinyal dengan komponen frekuensi jauh lebih rendah dapat benar-benar salah diartikan dan / atau disalahartikan.

Saya pikir apa yang [rackandboneman] katakan konsisten dengan niat profesor. 'Kondisi tertentu' adalah bahwa sinyal asli harus berkala.

Berikut adalah kode untuk menunjukkan cara merekonstruksi sinyal asli dari sinyal yang kurang sampel. Sinyal asli membutuhkan 1/100 periode pengambilan sampel untuk merekonstruksi pola uniknya (walaupun frekuensi dasarnya adalah 8/100). Dengan pengambilan sampel dengan periode pengambilan sampel 1,5 / 100 detik, pola sinyal asli direkonstruksi hampir dengan sempurna dengan periode pengambilan sampel rekonstruksi 0,5 / 100. (Singkatnya, periode pengambilan sampel 0,5 / 100 dibuat dari periode pengambilan sampel 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Jika sinyal disampel pada tingkat S, konten apa pun dengan frekuensi f akan dapat dibedakan dari konten lain dengan frekuensi NS + f atau NS-f untuk beberapa bilangan bulat N.

Apakah laju sampel yang diberikan memadai atau tidak akan tergantung pada apakah ada dua frekuensi yang isinya perlu dibedakan, tetapi tidak dapat.

Jika seseorang mis. Hanya khawatir tentang sinyal dalam kisaran 700-800Hz, input akan tanpa konten di bawah 300Hz atau di atas 1200, dan keberadaan sinyal lain tidak akan menyebabkan kliping, laju sampel 1000Hz akan memadai tanpa pra-ada penyaringan, meskipun ada konten yang total bandwidthnya 900Hz. Konten dalam kisaran 300Hz-700Hz tidak dapat dibedakan dari konten dalam kisaran 800Hz-1200Hz, tetapi jika seseorang tidak peduli dengan konten seperti itu, itu tidak masalah.