Mengapa gelombang sinus lebih disukai daripada bentuk gelombang lainnya?

22

Mengapa para ilmuwan memilih untuk menggunakan gelombang sinus untuk mewakili arus bolak-balik dan bukan bentuk gelombang lain seperti segitiga dan persegi?

Apa keuntungan yang ditawarkan sinus di atas bentuk gelombang lain dalam merepresentasikan arus dan tegangan?

ac sine Rookie91
sumber

32

Tidak ada yang "memilih" bentuk gelombang itu, yang secara alami muncul di generator.

PlasmaHH

5

Saya sarankan Anda melihat bagaimana hal-hal ini bekerja: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator dan jika Anda dapat membuat satu yang memberi saya segitiga atau gelombang persegi, saya ingin memilikinya.

PlasmaHH

10

Fourier menemukan bahwa setiap sinyal / bentuk gelombang dapat digambarkan sebagai sejumlah sinus yang ditumpangkan.

HKOB

2

@PlasmaHH Dimungkinkan untuk membuat generator untuk bentuk gelombang selain sinus. Lihat saja EMF belakang BLDC, yang trapesium (dalam kasus umum). Tapi ya, tanpa usaha tambahan, gelombang sinus adalah apa yang Anda dapatkan dengan mudah.

Roland Mieslinger

3

@ Plutoniumsmuggler Itulah yang saya katakan! Anda mengklaim bahwa setiap fungsi dapat direpresentasikan sebagai seri Fourier; Saya mengoreksi ini untuk setiap fungsi periodik. (Dan, sebenarnya, Anda mungkin perlu membatasi lebih jauh lagi, termasuk beberapa gagasan kesinambungan dan pembedaan yang cocok.)

David Richerby

52

Gerakan memutar menghasilkan gelombang sinus secara alami: -

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini hanya hal yang sangat alami dan mendasar untuk dilakukan dan mencoba menghasilkan bentuk gelombang yang berbeda lebih rumit atau mengarah pada efek samping yang tidak diinginkan.

masukkan deskripsi gambar di sini

Gerakan naik dan turun (di alam) menghasilkan gelombang sinus terhadap waktu: -

masukkan deskripsi gambar di sini

Andy alias
sumber

2

Bagus Piccys Andy, aturan SHM. (+1)

JIm Dearden

1

osilasi harmonik FTW

vaxquis

5

IIRC hanya gerak pegas kira-kira oleh gelombang sinus, dan perkiraannya hanya baik untuk defleksi kecil. Tetapi kasus rotasi persis alasan arus bolak-balik adalah sinusoidal. +1

Ben Voigt

2

Jika saya boleh, saya ingin menambahkan bahwa karena sinusoid adalah fundamental, Anda bisa membuat bentuk gelombang lain dari itu; Seri dan transformasi Fourier, siapa pun?

Sergiy Kolodyazhnyy

2

Sinusoid juga istimewa karena berdiferensiasi & berintegrasi dengan sinusoid lain.

Roman Starkov

20

Gelombang cosinus dan sinus (sebenarnya konstituennya dalam bentuk eksponensial kompleks) adalah fungsi Eigen dari sistem linear, waktu-invarian, memiliki respons sistem yang bergantung waktu terhadap Jika Anda membangun jaringan apa pun dari komponen pasif linier (resistor, induktor, kapasitor pada StackExchange ini) dan mengisinya dengan sinyal sinoidal kontinu, maka setiap titik dalam jaringan akan memberikan sinyal sinoidal kontinu dari fase dan besarnya yang mungkin berbeda.

\begin{aligned} f (Sebuah (t) + b (t), t_{0}) & = f (Sebuah (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearitas \\ f (Sebuah (t + h), t_{0}) & = f (Sebuah (t), t_{0} + h) & invarian waktu \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Tidak ada bentuk gelombang lain yang secara umum akan dipertahankan karena responsnya akan berbeda untuk frekuensi input yang berbeda, jadi jika Anda menguraikan beberapa input ke dalam komponen sinoidal dengan frekuensi unik, periksa masing-masing respons jaringan untuk yang tersebut, dan pasang kembali sinyal sinoidal yang dihasilkan, hasilnya secara umum tidak akan memiliki hubungan yang sama antara komponen sinoidal seperti aslinya.

Jadi analisis Fourier cukup penting: jaringan pasif merespons langsung terhadap sinyal sinoidal, jadi menguraikan semuanya menjadi sinoid dan kembali adalah alat penting untuk menganalisis sirkuit.

pengguna66031
sumber

1

Bukankah ini argumen melingkar? Jika Anda mendekomposisi input menjadi beberapa jenis komponen lain (misalnya gelombang segitiga), Anda akan mendapatkan hasil yang berbeda.

Random832

9

@ Random832 Tidak, input gelombang sinus ke jaringan RCL pasif selalu memberikan output gelombang sinus (dilemahkan & fase bergeser dengan jumlah yang berbeda tergantung pada frekuensi) analog langsung. Input segitiga tidak memberikan output segitiga. Analisis Fourier memberi tahu kita bahwa gelombang segitiga terdiri dari amplitudo, frekuensi berikut: a, fa / 3,3f, a / 5,5f, dll. Jika kita menguraikan segitiga menjadi gelombang sinus ini dan menganalisisnya secara terpisah, kita dapat menambahkannya bersama-sama dan lihat bentuk gelombang apa yang akan dihasilkan sirkuit.

Level River St

1

@ Random832 Jika Anda mencoba menganalisis input dan output sistem RCL dengan gelombang segitiga misalnya, Anda akan menemukan respons non-linear. Dengan gelombang sinus / kosinus, Anda mendapatkan respons linear, itu penting.

Aron

@Ron: Terkait dengan itu adalah fakta bahwa menambahkan bersama dua gelombang sinus dengan frekuensi yang sama tetapi fase yang berbeda dengan jumlah yang lebih kecil dari 180 derajat akan menghasilkan satu gelombang sinus dari frekuensi yang sama dan fase menengah. Dengan menambahkan dua sinyal frekuensi-fase-pencocokan-frekuensi dari sebagian besar jenis gelombang lainnya, akan menghasilkan bentuk gelombang yang tidak mirip dengan aslinya.

supercat

14

Segala sesuatu berosilasi sesuai dengan sinus dan kosinus. Mekanik, elektrikal, akustik, sebut saja. Gantungkan massa pada pegas dan akan memantul ke atas dan ke bawah pada frekuensi resonansinya sesuai dengan fungsi sinus. Sirkuit LC akan berperilaku dengan cara yang sama, hanya dengan arus dan tegangan alih-alih kecepatan dan gaya.

Sinewave terdiri dari komponen frekuensi tunggal, dan bentuk gelombang lainnya dapat dibangun dari menjumlahkan beberapa sinewave yang berbeda. Anda dapat melihat komponen frekuensi dalam sinyal dengan melihatnya pada penganalisis spektrum. Karena penganalisis spektrum menyapu filter sempit pada rentang frekuensi yang Anda lihat, Anda akan melihat puncak pada setiap frekuensi yang dikandung sinyal. Untuk gelombang sinus, Anda akan melihat 1 puncak. Untuk gelombang persegi, Anda akan melihat puncak af, 3f, 5f, 7f, dll.

Sinus dan kosinus juga merupakan proyeksi dari hal-hal yang berputar. Ambil generator AC, misalnya. Generator AC memutar magnet di sekitar di sebelah gulungan kawat. Saat magnet berputar, bidang yang menimpa koil karena magnet akan bervariasi sesuai dengan sinus sudut poros, menghasilkan tegangan melintasi koil yang juga sebanding dengan fungsi sinus.

alex.forencich
sumber

Terima kasih @ alex.forencich jadi sinus dan kosinus adalah tindakan mendasar di sekitar kita, benar.

Rookie91

1

Mungkin Anda dapat memasukkan dalam jawaban Anda bahwa gelombang frekuensi yang lebih tinggi umumnya tidak diinginkan , karena hal ini menyebabkan kerugian kapasitif dan induktif yang lebih besar, serta lebih banyak kebisingan (karena frekuensi yang lebih tinggi hadir) yang perlu disaring oleh catu daya (misalnya dalam pengaturan hi-fi Anda).

Sanchises

1

Sebagai catatan: sinus dan kosinus sangat mendasar karena mereka muncul secara alami dalam persamaan diferensial, dan banyak sisi alam semesta dimodelkan dengan baik oleh persamaan diferensial (termasuk E&M, mata air, dan banyak lagi)

Cort Ammon - Reinstate Monica

pada poin kedua - konsep komponen frekuensi (vs periodisitas) benar-benar hanya masuk akal ketika Anda mulai dengan seperangkat bentuk gelombang orthogonal untuk digunakan sebagai referensi - saya pikir gelombang sinus dapat dilihat dengan berbagai komponen frekuensi gelombang segitiga - the gelombang sinus adalah istimewa di sana karena sifat linearitas, sehingga kita dapat menguraikan sinyal menjadi sinus dan menerapkannya ke jaringan pasive (sistem linier)

user3125280

1

Hanya karena Anda dapat mendekomposisi bentuk gelombang menjadi seperangkat bentuk gelombang yang berbeda, tidak berarti bahwa bentuk gelombang lain ini entah bagaimana lebih 'mendasar'. Tentu saja mungkin untuk menguraikan gelombang-gelombang sin ke sesuatu yang lain. Namun, sirkuit elektronik berperilaku dalam hal osilasi dan gelombang sinus. Jika Anda membangun filter low pass 100 Hz dan memasukkan gelombang persegi 50 Hz ke dalamnya, Anda akan mendapatkan 50 Hz sinewave di sisi lain. Bukan gelombang persegi atau gelombang segitiga. Inilah sebabnya mengapa gelombang sinus sangat mendasar.

alex.forencich

9

Pada pengertian yang lebih matematis dan fisik mengapa sinus dan kosinus menjadi dasar gelombang dapat berakar pada teorema dan kalkulus Pythagoras.

Teorema Pythagoras memberi kami permata ini, dengan sinus dan cosinus:

{s saya n}^{2} (t) + {c Hai s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Ini membuat sinus dan cosinus saling membatalkan satu sama lain dalam hukum kuadrat terbalik yang tersebar di seluruh dunia fisika.

Dan dengan kalkulus kita memiliki ini:

\frac{d}{d x} s saya n x = c Hai s x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d x} c Hai s x = - s saya n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Ini berarti bahwa segala bentuk operasi kalkulus akan mempertahankan sinus dan cosinus jika ada salah satunya.

Misalnya, ketika kita memecahkan posisi objek sesaat dalam hukum Hooke (bentuk serupa juga di mana-mana), kita memiliki ini:

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

Maxthon Chan
sumber

+0.(9); juga, IMO perlu dicatat bahwa penyelesaian sebagian besar persamaan diferensial yang umum digunakan (persamaan gelombang, persamaan string, persamaan fluida) memerlukan x=e^(lambda*t)substitusi, yang kemudian menciptakan solusi yang dapat dibuat menjadi x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)bentuk, pada dasarnya memaksa ekspansi sinus / kosinus dalam larutan persamaan tersebut.

vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$ mana f dan g adalah fungsi linear.

Maxthon Chan

ya persis. Mereka juga dapat diekspresikan sebagai kosinus; Saya hanya menunjukkan bahwa karena IMO jelas menunjukkan bahwa ketiga bentuk (sinus, cosinus, sinus + cosinus) adalah setara dan, pada kenyataannya, digunakan secara bergantian, tergantung pada kebutuhan dan konteks, seperti yang dapat dilihat, misalnya pada en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator atau en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

vaxquis

9

Para ilmuwan tidak memilih gelombang sinus, itulah yang mereka dapatkan dari generator AC. Dalam generator AC, gelombang sinus dihasilkan karena gerakan rotor di dalam medan magnet. Tidak ada cara mudah untuk membuatnya sebaliknya. Lihat gambar ini di Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

obaej
sumber

3

Gelombang sinus hanya mengandung satu frekuensi. Gelombang persegi atau segitiga adalah jumlah dari jumlah gelombang sinus yang tak terbatas yang merupakan harmonik dari frekuensi dasar.

Turunan dari gelombang kuadrat sempurna (memiliki waktu naik / turun nol) tidak terbatas ketika berubah dari rendah ke tinggi atau sebaliknya. Turunan dari gelombang segitiga sempurna adalah tak terbatas di bagian atas dan bawah.

Salah satu konsekuensi praktis dari ini adalah bahwa lebih sulit untuk mentransfer sinyal persegi / segitiga, katakanlah melalui kabel dibandingkan dengan sinyal yang hanya berupa gelombang sinus.

Konsekuensi lain adalah bahwa gelombang persegi cenderung menghasilkan suara yang jauh lebih terpancar dibandingkan dengan gelombang sinus. Karena mengandung banyak harmonisa, harmonisa tersebut dapat terpancar. Contoh khas adalah jam ke SDRAM pada PCB. Jika tidak dialihkan dengan hati-hati, itu akan menghasilkan banyak emisi terpancar. Ini dapat menyebabkan kegagalan dalam pengujian EMC.

Gelombang sinus juga dapat memancar, tetapi kemudian hanya frekuensi gelombang sinus yang memancar keluar.

Reidar Gjerstad
sumber

Anda bisa berargumen bahwa gelombang persegi hanya mengandung satu frekuensi. Gelombang sinus adalah jumlah dari jumlah gelombang persegi yang tak terbatas.

jinawee

@jinawee Anda bisa, tetapi ada hal-hal lain yang membuat sinewave menjadi tipe gelombang "fundamental". Sebagai contoh, itu satu-satunya yang membedakan ke dirinya sendiri (mengabaikan pergeseran fase). Meskipun penjelasan fisik tentang osilasi sistem pegas adalah yang paling saya sukai.

Roman Starkov

@jinawee, tolong buktikan?

Eric Best

@EricBest Saya tidak tahu buktinya, tapi saya merujuk pada fungsi Walsh en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function yang merupakan basis Hilbert pada interval [0,1]. Tentu saja beberapa subtitle mungkin muncul seperti kesetaraan hingga seperangkat ukuran nol atau hal-hal seperti itu.

jinawee

@jinawee: Meletakkan satu gelombang sinus melalui sistem linier akan menghasilkan salah satu gelombang sinus dari frekuensi yang sama, atau DC (yang dapat dilihat sebagai satu gelombang sinus dari frekuensi yang sama tetapi amplitudo nol). Menempatkan sejumlah gelombang sinus melalui sistem seperti itu akan menghasilkan hasil yang sama seperti menempatkan setiap gelombang melalui masing-masing dan menambahkan output. Kombinasi kedua sifat ini unik untuk gelombang sinus.

supercat

3

Pertama-tama, fungsi sinus dan kosinus adalah seragam kontinu (sehingga tidak ada titik terputus di mana pun dalam domain mereka) dan dapat dibedakan secara tak terbatas pada seluruh garis Real. Mereka juga mudah dihitung melalui ekspansi seri Taylor.

Properti ini sangat berguna dalam mendefinisikan ekspansi deret Fourier dari fungsi periodik pada garis nyata. Jadi bentuk gelombang non-sinusoidal seperti kuadrat, gigi gergaji, dan gelombang segitiga dapat direpresentasikan sebagai jumlah tak terbatas dari fungsi sinus. Ergo, gelombang sinus membentuk dasar Analisis Harmonik dan merupakan bentuk gelombang yang paling sederhana secara matematis untuk dijelaskan.

LapToppin
sumber

2

Kami selalu suka bekerja dengan model matematika linear dari realitas fisik karena kesederhanaan untuk bekerja dengannya. Fungsi sinusoidal adalah 'fungsi eigen' dari sistem linear.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

Fungsi tetap sama dan hanya ditingkatkan dalam amplitudo dan digeser waktu. Ini memberi kita ide bagus apa yang terjadi pada sinyal jika ia merambat melalui sistem.

Axel Vanraes
sumber

Terima kasih @Axel Vanraes atas masukan Anda yang berharga. Saya sangat menghargainya.

Rookie91

0

Sine / Cosine adalah solusi dari persamaan diferensial linear orde kedua.

sin '= cos, cos' = - dosa

Elemen elektronik dasar sebagai induktor dan kapasitor menghasilkan integrasi diferensiasi arus ke tegangan.

Dengan mendekomposisi sinyal acak menjadi gelombang sinus, persamaan diferensial dapat dianalisis dengan mudah.

TEMLIB
sumber

0

Salah satu cara untuk melihatnya, secara singkat, adalah bahwa rangkaian harmonik fungsi sinus dan kosinus membentuk basis ortogonal dari ruang vektor linier dari fungsi bernilai riil pada interval waktu yang terbatas. Dengan demikian fungsi pada interval waktu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari fungsi sinus dan cosinus yang selaras.

Tentu saja Anda dapat menggunakan beberapa set fungsi lainnya (misalnya wavelet tertentu) selama mereka akan membentuk set dasar yang valid, dan menguraikan fungsi yang menarik seperti itu. Terkadang dekomposisi seperti itu mungkin berguna, tetapi sejauh ini kita hanya tahu aplikasi khusus untuk itu.

Mengambil analogi geometris: Anda bisa menggunakan basis non-ortogonoal untuk menggambarkan komponen vektor. Misalnya, vektor dalam basis ortonormal mungkin memiliki komponen [1,8,-4]. Dalam beberapa dasar non-ortonormal lainnya, ia mungkin memiliki komponen [21,-43,12]. Apakah kumpulan komponen ini lebih mudah atau lebih sulit untuk ditafsirkan daripada dasar ortonormal yang biasa tergantung pada apa yang Anda coba lakukan.

Pasang kembali Monica
sumber

-3

lebih sedikit kerugian
lebih sedikit harmonik
tidak ada gangguan dengan jalur komunikasi
efek distro yang sangat kurang
mesin menjalankan efisiensinya
sangat sedikit perilaku sementara dalam kasus L dan C

Pradeep Maurya
sumber

Mengapa gelombang sinus lebih disukai daripada bentuk gelombang lainnya?

Jawaban: