Penjelasan intuitif

Adakah yang bisa memberikan penjelasan intuitif mengapa matriks Slutsky dikalikan dengan vektor harga menghasilkan matriks nol?

Saya tahu ini benar tetapi saya tidak begitu mengerti mengapa itu benar. Adakah yang bisa membantu di sini?

Ini adalah properti matematika umum dari turunan kedua / matriks Hessian dari fungsi multivariat yang homogen dari tingkat satu.

Fungsi Pengeluaran adalah homogen dari tingkat satu dalam harga. Mengapa? Jika semua harga berubah dalam proporsi yang sama (seperti cara kami memeriksa properti matematika dari homogenitas), harga relatif tidak berubah. Jika harga relatif tidak berubah, komposisi kuantitatif dari bundel konsumsi terkompensasi biaya minimum untuk mencapai utilitas yang diberikan tidak berubah sama sekali . Kemudian, karena semua harga telah meningkat dengan proporsi yang sama, bagian anggaran tetap sama, dan Pengeluaran yang dibutuhkan untuk mencapai utilitas yang sama, naik dalam proporsi yang sama: homogenitas derajat satu.$E$

Oleh dualitas, vektor permintaan Hicks adalah gradien dari fungsi Pengeluaran, .$H = \nabla_p E$

Vektor permintaan Hicksian, memberi kami jumlah biaya minimum yang diminta. Karena homogenitas derajat satu dari fungsi Pengeluaran, produk dalam dari vektor permintaan Hicksian dikalikan dengan vektor harga sama dengan fungsi Pengeluaran. Ini juga harus intuitif: kita hanya mengalikan setiap kuantitas yang diminta dengan harga satuan yang harus dibayar untuk itu, dan dengan menjumlahkan produk-produk ini kita memperoleh Pengeluaran total yang harus kita keluarkan untuk mendapatkan bundel biaya minimum untuk utilitas yang diberikan.

Jadi kita telah (menyederhanakan notasi diferensiasi) sementara juga . Karena itu juga$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

dan itu harus menjadi kasus itu

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

Jadi vektor permintaan Hicksian adalah homogen dari derajat nol dalam harga (secara matematis, ini adalah konsekuensi dari teorema Euler untuk fungsi homogen, yaitu bahwa jika suatu fungsi homogen dengan derajat homogenitas , gradiennya memiliki derajat homogenitas ).$k$$k-1$

Tetapi turunan pertama (Jacobian) dari permintaan Hicksian (yang merupakan matriks-Hess dari turunan kedua dari fungsi Pengeluaran) adalah matriks Slutsky, . Jadi .$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Jadi hasilnya berasal dari homogenitas derajat satu dari fungsi Pengeluaran. Apakah ada penjelasan intuitif, analog dengan intuisi di balik homogenitas derajat satu dari fungsi Pengeluaran? Yah, yang pertama datang langsung dari yang terakhir, sehingga sulit untuk datang dengan argumen intuitif "terpisah". Seseorang dapat secara informal mengatakan bahwa jumlah kompensasi yang diminta adalah "independen" dari (tidak terpengaruh oleh) variasi harga ketika harga relatif tetap sama. Kemudian dalam istilah geometris, ini berarti bahwa vektor laju perubahan kuantitas yang dikompensasikan yang diminta (yang berisi setiap baris dari matriks Slutsky mengandung), adalah ortogonal terhadap vektor harga.

Saya tidak tahu apakah Anda akan menganggap ini sebagai penjelasan, atau lebih tepatnya sebagai bukti.

Apa yang kita memiliki pemahaman yang lebih baik dari kalkulus univariat adalah pendekatan orde pertama Taylor, yaitu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi keteraturan dapat didekati dengan baik oleh fungsi linear pada suatu titik. Katakan , lalu sekitar (yaitu ketika kecil) p ∗ δ f ( p ∗ + δ ) ≃ f ( p ∗ ) + δ × d $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

Sekarang, kita dapat melakukan sesuatu yang serupa untuk fungsi multivariabel. Jika , maka $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

Sekarang, harus jelas bahwa ketika kita mengalikan semua harga dengan angka yang sama, permintaan Hicksian tidak berubah. Jadi misalkan kita menaikkan harga dari menjadi . Jadi setiap harga berubah secara proporsional dengan jumlah . Kita seharusnya tidak melihat perubahan nilai atas jika kita mengganti dengan . Maka harus benar bahwa ketentuan tambahan termasuk turunan parsial akan berjumlah 0, yang pada dasarnya menghasilkan Anda$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Dengan kata lain, karena permintaan Hicksian untuk barang apa pun tidak responsif terhadap perubahan harga yang menjaga harga relatif sama, maka jika kita melihat total individu yang mempengaruhi perubahan harga pada barang, kita harus mengamati 0 ubah.

Saya kira Anda sudah tahu jawaban yang diberikan dalam Mas-Colell, properti ini tidak ada hubungannya dengan ilusi uang sebenarnya (dalam beberapa kondisi keteraturan) adalah jika dan hanya jika dengan properti permintaan . Sekarang, sepele untuk menunjukkan bahwa ini berarti bahwa , di bawah hukum Walras atau setara dengan , menggantikannya dalam ekspresi pertama yang mendapat . Kita bisa pergi ke arah lain menggunakan integrasi. Dengan kata lain, saya pikir intuisi yang kuat adalah bahwa konsumen Anda tidak menderita ilusi uang. Perhatikan bahwa konsumen mungkin tidak rasional tetapi dia setidaknya tidak akan mengalami bias perilaku ini.$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$