Tebak dan Verifikasi

Dalam pemrograman dinamis, metode koefisien yang tidak ditentukan kadang-kadang dikenal sebagai "tebak dan verifikasi." Saya secara berkala mendengar ada dugaan kanonis yang mungkin dibuat.

Secara khusus, saya telah melihat

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Yang pertama berlaku untuk utilitas log sedangkan yang kedua terkait dengan preferensi CRRA. Apa dugaan kanonik lain yang ada, dan apakah ini umumnya terkait dengan bentuk khusus dari fungsi pengembalian?

Sunting : Bagi mereka yang tidak terbiasa dengan program dinamis, apa yang kami coba lakukan di sini adalah membuat form tertutup untuk koefisien ( mis. dan ). Untuk terlalu menyederhanakan, persamaan fungsional biasanya mengambil bentuk generik , di mana g (\ cdot, \ cdot) menjelaskan evolusi variabel status k . Pada dasarnya, nilai berada dalam keadaan k hari ini tergantung pada fungsi pengembalian hari ini F (k, u) dan beberapa nilai diskon dari apa pun yang k akan menjadi besok \ beta V \ bigl (g (k, u) \ bigr) . kamu$A$$B$$V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$$g(\cdot,\cdot)$$k$$k$$F(k,u)$$k$$\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$$u$ mewakili variabel non-negara apa pun yang menurut Anda memengaruhi pengembalian.

Terkadang dimungkinkan untuk mendapatkan solusi bentuk tertutup untuk $V(k)$ (... catatan: kami tidak hanya menyelesaikan untuk $V(k)$ karena sisi kanan adalah kuantitas yang dimaksimalkan). Ini biasanya melibatkan mengetahui sesuatu tentang fungsi pengembalian $F(k,u)$ dan kemudian membuat perkiraan tentang bentuk fungsional $V(k)$ . Kita kemudian dapat mengulangi untuk melihat apakah tebakan kami menghasilkan solusi bentuk-tertutup untuk $V(k)$ . Secara khusus, ini akan mencakup bentuk tertutup untuk koefisien dalam dugaan (maka metode koefisien yang tidak ditentukan).

Bentuk lain yang agak kanonik adalah fungsi nilai untuk preferensi sensitif risiko ketika konsumsi mengikuti jalan acak dengan drift (ada juga versi termasuk modal - lihat Backus Ferriere Zin 2014).

$$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$$

Mulailah dengan preferensi yang diberikan sebagai Epstein-Zin dengan fungsi kesetaraan kepastian dari bentuk :$\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

$$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$$

lalu membiarkan memberi kita$\rho \rightarrow 0$

$$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$$ $$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$$

Mengambil log memberi kita preferensi sensitif risiko seperti yang disajikan dalam Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, dll ...

Definisikan dan maka kita melihat bahwa:$U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$$\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

$$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$$

Bentuk fungsi nilai ini dapat ditebak sebagai:

$$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$$

Referensi:

• David Backus, Axelle Ferriere, dan Stanely Zin. Risiko dan Ambiguitas dalam Model Siklus Bisnis. Konferensi Carnegie-Rochester-NYU. 2014
• Lars Ljunqvist dan Thomas J. Sargent. Teori Makroekonomi Rekursif, Edisi ke-3. 2013
• TD Tallarini Jr. Siklus bisnis nyata yang peka terhadap risiko. Jurnal Ekonomi Moneter. 2000
• LP Hansen dan TJ Sargent. Diskon kontrol gaussian kuadrat eksponensial linier. Kontrol Otomatis IEEE Trans. 1995

Komentar Tambahan: Dua kasus yang Anda sajikan kurang lebih dicakup oleh tebakan karena ini mengurangi ke log sebagai . Dugaan pasti terkait dengan bentuk tertentu dari fungsi pengembalian karena fungsi nilai terkait dengan fungsi satu periode pengembalian (imbalan) berulang kali diperoleh sepanjang sejarah yang tak terbatas (jika konsumsi konstan maka akan mengurangi ke jumlah geometrik).$V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$$\sigma \rightarrow 1$