Hubungan Preferensi Leksikografis pada QxR

Saya ingin meminta bantuan Anda. Baru-baru ini saya mengetahui bahwa hubungan Preferensi Lisan dapat diwakili oleh fungsi utilitas pada (tetapi bukan ).$u:X\to\mathbb{R}$$\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$$\mathbb{R}\times\mathbb{Q}$

Yang perlu diingat, hubungan preferensi leksikografis mengatakan bahwa pada , x jika dan hanya jika atau dan mana dan .$\mathbb{R^2}$$x\succeq y$$x_1>y_1$$x_1=y_1$$x_2\geq y_2$$x=(x_1,x_2)$$y=(y_1,y_2)$

Jadi, saya ingin melihat bukti dari pernyataan ini dan bagaimana mungkin untuk membangun representasi utilitas seperti itu. Saya kira kita harus berasumsi pertama bahwa ada representasi utilitas untuk preferensi Lexicographic pada karena yang terakhir dapat dihitung, tetapi saya hilang setelahnya.$\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$

Terima kasih banyak atas bantuan Anda!

Catatan pertama bahwa untuk setiap trivial (lebih dari satu titik) Interval kompak , terdapat ketat meningkatkan fungsi dari ke .$I$$\mathbb{R}$$I$

Biarkan menjadi enumerasi dari . Kami akan mendefinisikan induktif, satu setelah yang lainnya.$\langle q_1,q_2, q_3,\ldots\rangle$$\mathbb{Q}$$u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$q_n$

Biarkan menjadi interval kompak nontrivial dan meningkat secara ketat. $I_1$$u_1:\mathbb{R}\to I_1$

Sekarang asumsikan ada interval kompak nontrivial yang terpisah yang dipesan pada baris seperti , dan fungsi yang sangat meningkat untuk . Karena interval ini ditutup dan dipisahkan, ada ruang antara dua interval berurutan. Jadi seseorang dapat menempatkan interval kompak nontrivial di tempat yang sesuai dengan antara . Pilih juga beberapa fungsi yang benar-benar meningkat .$I_1,\ldots,I_n$$q_1,\ldots,q_n$$u_m:\mathbb{R}\to I_m$$m\leq n$$I_{n+1}$$q_{n+1}$$q_1,\ldots, q_n$$u_{n+1}:\mathbb{R}\to I_{n+1}$

Ini akan memberi Anda urutan terpisah interval nontrivial dan urutan fungsi dengan benar-benar meningkat. Sekarang tentukan oleh .$\langle I_1, I_2, \ldots\rangle$$\langle u_1, u_2, \ldots\rangle$$u_n:\mathbb{R}\to I$$u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$u(q_n,r)=u_n(r)$

Anda dapat memverifikasi bahwa mewakili urutan leksikografis pada .$u$$\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$

Peringatan: Keberadaan interval nontrivial terputus-putus yang tak terhingga jumlahnya mungkin tampak sangat aneh, tetapi baik-baik saja.