Memprediksi

Model perkiraan saya adalah

$$\hat \ln(y_t)=9.873-0.472\ln(x_{t2})-0.01x_{t3}$$

Saya diminta untuk menemukan CI prediktif pada kepercayaan 95% untuk rata-rata $y_0$ , ketika $x_{02}=250$ , dan $x_{03}=8$ . Kita berasumsi bahwa $s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$ , di mana $x_0=(250,8)$ .

Saya punya solusi dari tahun sebelumnya, seperti ini:

Saya menemukan CI dari bentuk $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$ , di mana $t$ adalah $\alpha/2$ kuantil-atas dari distribusi $t(n-k)$ dan $s_E=\sqrt{0.000243952}$ . Ini memberi saya$[7.1563,7.2175]$.

Kemudian penulis melakukan $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$ .

Saya tidak setuju dengan langkah terakhir ini (oleh ketidaksetaraan Jensen kita akan meremehkan). Dalam Wooldridge's Intro to Econometrics, di halaman 212, ia menyatakan bahwa jika kami yakin ketentuan kesalahannya normal, maka penduga yang konsisten adalah:

$$\hat E[y_0|x_0]=e^{s^2/2}e^{\hat \ln(y_0)}$$

Jadi, saya berpikir untuk melakukan

$$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2} 1282.158,e^{s^2/2}1363.077 \right] = \left[ 1282.314,1363.243 \right]$$

Apakah ini benar?

Juga, solusi untuk latihan ini menyatakan bahwa , yang jauh dari solusi yang saya punya.$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

Bantuan apa pun akan dihargai.

PS: Saya juga membaca bahwa koreksi tidak boleh digunakan untuk CI tapi hanya untuk estimasi titik E [ y 0 | x 0 ]$\hat E[y_0|x_0]$

Anda tidak menemukan jawaban yang sama karena apa yang saya duga sebagai kesalahan ketik, yang dengan demikian akan menjadi alasan utama masalah Anda: akan ditetapkan ke 80 , bukan 8 . Kemungkinan lain, jika Anda terus x 03 = 8 , kesalahan dalam estimasi kedua koefisien, katakanlah, ß 2 = - 0,1 bukannya - 0,01 .$x_{03}$$80$$8$$x_{03}=8$$\hat{\beta}_2 = -0.1$$-0.01$

Bagaimanapun, salah satu dari modifikasi ini menyelesaikan semuanya dan menghasilkan hasil yang sama sebagai solusi untuk latihan ini.

Mempertimbangkan perubahan ini, dengan , seseorang dapat$t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

Metode 1

(solusi yang diberikan untuk latihan ini)$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$

atau

Metode 2

(seperti yang dinyatakan dalam Intro to Econometrics Wooldridge, di halaman 212) jika kami yakin istilah kesalahannya normal (dan satu sangat beruntung)

$$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2}624.0203,e^{s^2/2}663.5193 \right] = \left[ 624.0960,663.6002 \right]$$

namun

yang metode 2 sangat tidak mungkin benar, karena seperti yang Anda sebutkan dalam pertanyaan Anda [...] yang (meremehkan) koreksi tidak boleh digunakan untuk CI tapi hanya untuk estimasi titik.

Mengapa Saya akan mengatakan karena ketergantungan betweeen dua istilah, mengetahui harapan di satu sisi dan ^ y 0 di sisi lain tidak berarti yang tahu salah satu dari e s $e^{s^2/2}$$\hat{y_0}$ .$e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

Prediksi titik dan CI berbeda.

Untuk prediksi poin, kita lebih baik dengan mengoreksi bias sebanyak mungkin. Untuk CI, yang diperlukan dari awal adalah bahwa probabilitasnya sama dengan . Ketika [ a , b ] adalah 95% CI untuk ln ( y 0 ) misalnya, [ e a , e b ] tentu saja CI 95% untuk y 0 karena P ( a ≤ ln X ≤ b ) = P $100(1-\alpha)\%$$[a,b]$$\ln(y_0)$$[e^a,e^b]$$y_0$ . Jadi [ e 7.1563 , e 7.2175 ] Anda tentu merupakan CI yang valid.$P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

Tapi pusat CI ini bukanlah naif prediktor (exp [prediktor ]) maupun prediktor dikoreksi y 0 (koreksi kali faktor prediktor naif) karena ketidaksetaraan Jensen, tetapi tidak terlalu penting. Dalam beberapa kasus (tidak selalu), Anda mungkin dapat mengubah CI menjadi [ e a - p , e b - q ] untuk beberapa p dan q sehingga probabilitasnya masih 95% dan pusatnya adalah prediktor yang dikoreksi bias. , tapi saya tidak mengerti maksudnya.$\ln y_0$$y_0$$[e^{a-p}, e^{b-q}]$$p$$q$

Apa yang disarankan, yaitu, bukan 95% CI. Untuk melihat mengapa, biarkan faktor koreksi menjadi h (nonrandom dan sempurna dikenal, untuk kesederhanaan), sehingga prediktor bias-dikoreksi adalah h e θ , dimana θ adalah prediktor berisi dari ln y 0 ( β 0 + β 2 ln x 2 + β 3 $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$$h$$he^{\theta}$$\theta$$\ln y_0$ dalam contoh Anda). Ini " h " dapat diperkirakan dengan e s 2 / 2 misalnya, tapi sementara yang kedua adalah acak, h diasumsikan nonrandom untuk membuatnya sederhana. Misalkan [ a , b ] menjadi CI 95% untuk ln y 0 , yaitu P ( a ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 . Kemudian, P ( h e a ≤ y 0 ≤ h e b$\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$$h$$e^{s^2/2}$$h$$[a,b]$$\ln y_0$$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$ yangtidaksama dengan P ( a ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 kecuali distribusi ln y 0 seragam, yang biasanya tidak.

$$P(he^a \le y_0 \le he^b) = P(\ln h+a \le \ln y_0 \le \ln h+b),$$ $P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$$\ln y_0$

EDIT

Di atas adalah tentang CI dari , bukan dari E ( y | X = x 0 ) . Pertanyaan aslinya adalah tentang CI untuk E ( y | X = x 0 ) . Mari E ( y | X = x 0 ) = h exp ( x 0 β ) , yang diperkirakan oleh h exp ( x 0 β$y_0$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$$\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$. Dalam hal ini, saya pikir metode Delta adalah opsi yang berguna (lihat jawaban luchonacho).

Untuk menjadi ketat, kita membutuhkan distribusi gabungan dari h dan β , atau tepatnya, distribusi asimtotik dari vektor √$\hat{h}$$\hat\beta$. Kemudian batas distribusi$\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$berasal menggunakan metode Delta dan kemudian CI untukhexp(x0β)dapat dibangun.$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$$h\exp(x_0\beta)$

$\beta$

$$\hat{\beta} \xrightarrow{a} N\left(\beta,\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$$

(dengan asumsi estimasi Anda konsisten)

$\hat{\beta}$$F(\hat{\beta})$

$$F(\hat{\beta}) \xrightarrow{a} N\left(F(\beta),\left(\frac{\partial F(\hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}}\right)^2\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$$

$F(\hat{\beta})$$e^\hat{\beta}$

Sumber dan detail lainnya dalam dokumen yang ditautkan.