dominasi stokastik orde kedua tanpa mean yang sama

Biarkan dan menjadi dua distribusi dengan rata-rata yang sama. dikatakan sebagai urutan kedua yang secara stokastik mendominasi ( SOSD ) jika untuk semua peningkatan dan cekungan .$F$$G$$F$$G$

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ $u(\cdot)$

Definisi di atas ini setara dengan

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

Saya diberitahu bahwa persyaratan untuk dan untuk memiliki rata-rata yang sama tidak benar-benar diperlukan. Misalkan dan yang tidak memiliki mean yang sama. Bisakah kita masih memiliki kesetaraan antara dan ?$F$$G$$F$$G$$(1)$$(2)$

NB Saya bisa menunjukkan tanpa kondisi rata-rata yang sama, tetapi tidak sebaliknya.$(2)\Rightarrow (1)$

Biarkan yang meningkat dan cekung. Kemudian kondisi mendefinisikan SOSD berbunyi$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

..yang akan bertentangan dengan kasus yang akan diizinkan di bawah postulat "cara yang berbeda" umum. Di sisi lain, kita melihat bahwa kondisi "rata-rata yang sama" dapat dilanggar oleh kondisi penetapan untuk SOSD itu sendiri. Apa artinya itu bagi kita?$E_F(X) < E_G(X)$

1) Bahwa adalah kondisi yang diperlukan untuk untuk SOSD . $E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

2) ... Dan agar persyaratan " dan memiliki rata-rata yang sama" secara salah membatasi penerapan konsep SOSD.$F$$G$