Dalam Algoritma SVM, mengapa vektor w ortogonal dengan hyperplane pemisah?

Saya seorang pemula dalam Pembelajaran Mesin. Dalam SVM, hyperplane pemisah didefinisikan sebagai . Mengapa kita katakan vektor w ortogonal ke hyperplane yang memisahkan?$y = w^T x + b$$w$

Geometris, vektor w diarahkan orthogonal ke jalur yang didefinisikan oleh . Hal ini dapat dipahami sebagai berikut:$w^{T} x = b$

Pertama ambil . Sekarang jelas bahwa semua vektor, x , dengan menghilang produk batin dengan w memuaskan persamaan ini, yaitu semua vektor ortogonal untuk w memuaskan persamaan ini.$b = 0$$x$$w$

Sekarang terjemahkan hyperplane dari asal ke vektor a. Persamaan untuk bidang sekarang menjadi: , yaitu kita menemukan bahwa untuk offset b = a T w , yang merupakan proyeksi dari vektor a ke vektor w .$(x − a)^{T} w = 0$$b = a^{T} w$$a$$w$

Tanpa kehilangan sifat umum maka kita dapat memilih tegak lurus terhadap bidang, dalam hal ini panjang yang mewakili jarak ortogonal terpendek antara titik asal dan bidang datar.$\vert\vert a \vert\vert = \vert b \vert /\vert\vert w\vert\vert$

Karenanya vektor dikatakan orthogonal terhadap hyperplane pemisah.$w$

Alasan mengapa adalah normal untuk hyper-plane adalah karena kami mendefinisikannya seperti itu:$w$

$P_0$$P_0 = x_0, y_0, z_0$$(0,0,0)$$<x_0,y_0,z_0>$$P (x,y,z)$$P$$P_0$

$$\vec{P} - \vec{P_0} = <x-x_0, y-y_0, z-z_0>$$

$\hat{n}$

$$\hat{n} \bullet (\vec{P}-\vec{P_0}) = 0$$ $$\hat{n} \bullet \vec{P}- \hat{n} \bullet \vec{P_0} = 0$$ $-\hat{n} \bullet \vec{P_0}$$b$$\hat{n}$$w$$\vec{P}$$x$$w$

$w^Tx + b = 0$$x_a$$x_b$

$$\begin{equation} w^Tx_a + b = 0 \\ w^Tx_b + b = 0 \end{equation}$$

$w^T.(x_a - x_b) = 0$$x_a - x_b$$x_b$$x_a$$w^T.(x_a - x_b)$$w^T$$x_a - x_b$

Menggunakan definisi aljabar vektor yang ortogonal ke hyperplane:

$\forall \ x_1, x_2$

$$w^T(x_1-x_2)=(w^Tx_1 + b)-(w^Tx_2 + b)=0-0=0 \ \small\Box.$$