Kompleksitas sirkuit monoton dari fungsi komputasi pada input yang jarang

12

Berat |x|dari string biner x{0,1}n adalah jumlah yang ada dalam string. Apa yang terjadi jika kita tertarik untuk menghitung fungsi monoton pada input dengan sedikit?

Kita tahu bahwa memutuskan apakah sebuah grafik memiliki k -clique sulit untuk rangkaian monoton (lihat antara lain Alon Boppana, 1987), tetapi jika sebuah grafik memiliki paling banyak k3 sisi, mungkin untuk menemukan rangkaian kedalaman dengan ukuran monoton yang dibatasi. f(k)nO(1) yang menentukan k -clique.

Pertanyaan saya: apakah ada fungsi yang sulit dihitung oleh rangkaian monoton bahkan pada input dengan berat kurang dari k ? Sarana Berikut keras ukuran sirkuit nkΩ(1) .

Bahkan lebih baik: apakah ada fungsi monoton eksplisit yang sulit untuk menghitung bahkan jika kita hanya peduli tentang masukan berat k1 dan k2 ?

Emil Jeřábek telah mengamati bahwa batas bawah yang diketahui berlaku untuk sirkuit monoton yang memisahkan dua kelas input ( a -cliques vs maksimal (a1) -grafik berwarna), sehingga dengan mengorbankan independensi dalam argumen probabilistik dimungkinkan untuk membuatnya bekerja untuk dua kelas input bobot tetap. Ini akan menyebabkan k2 menjadi fungsi dari n yang ingin saya hindari.

Apa yang benar-benar ingin adalah fungsi keras eksplisit untuk k1 dan k2 jauh lebih kecil dari n (seperti dalam kerangka kompleksitas parameterisasi). Lebih baik lagi jika k1=k2+1 .

Perhatikan bahwa jawaban positif untuk k1=k2 akan menyiratkan batas bawah eksponensial untuk sirkuit arbitrer.

Pembaruan : Pertanyaan ini mungkin sebagian relevan.

MassimoLauria
sumber
2
2n×mGm=o(n)uxufG(x)xuxvuvGs(G)fG2s(G)(2+c)nc>0
1
n/2exp(min{a,n/b}1/4)baa<bknkk3(nk)O(n2logn) untuk setiap konstanta . k
Stasys
Saya harus mengklarifikasi bahwa saya peduli dengan input jarang dalam arti grafik jarang. Mencari -clique dalam grafik yang sangat jarang (dengan mengatakan tepi) dapat dilakukan dalam ukuran sirkuit monoton FPT. kk10
MassimoLauria
Contoh Anda di komentar pertama sangat bagus. Jika saya mengerti benar ini adalah masalah yang sama dengan fungsi monoton yang sulit pada berat yang tetap . Menggunakan fungsi komplemen semu untuk mensimulasikan input yang dinegasikan, kompleksitas sirkuit tidak berbeda antara case monoton dan non-monoton. Untuk konstanta (atau kecil) komplemen semu ini dapat diimplementasikan secara efisien oleh rangkaian monoton. kk
MassimoLauria
2
komentar pertama saya mengandalkan kompleksitas grafik. Fenomena " " dapat ditemukan di halaman 13 draf ini . Btw saya belum mengerti apa yang Anda maksud dengan menjadi "sulit untuk k dan k +1"? (Kesalahan saya, tentu saja.)(2+c)n
Stasys

Jawaban:

2

khusus mempertimbangkan satu bagian dari pertanyaan (misalnya untuk = 1, = 2), Lokam mempelajari fungsi "2-slice" dalam makalah ini & membuktikan bahwa batas bawah yang kuat pada mereka dapat digeneralisasi, oleh karena itu ini adalah masalah terbuka yang sangat sulit terkait dengan pemisahan kelas kompleksitas dasar & setiap konstruksi / fungsi eksplisit akan menjadi terobosan; dari abstrak:k1k2

Fungsi Boolean f disebut fungsi 2-slice jika ia mengevaluasi ke nol pada input dengan kurang dari dua 1 dan mengevaluasi ke satu pada input dengan lebih dari dua 1. Pada input dengan tepat dua 1 f dapat didefinisikan secara nontrivial. Ada korespondensi alami antara fungsi 2-slice dan grafik. Menggunakan kerangka kompleksitas grafik, kami menunjukkan bahwa batas bawah monoton superlinear yang cukup kuat untuk kelas fungsi 2-irisan yang sangat khusus akan menyiratkan batas bawah superpolinomial atas dasar lengkap untuk fungsi tertentu yang berasal dari mereka.

  • Kompleksitas Grafik dan Fungsi Iris / Satyanarayana V. Lokam, Teori Komputasi. Sistem 36, 71-88 (2003)

juga seperti dalam komentarnya SJ meliput kasus serupa ini dalam bukunya di bagian yang mengeksplorasi kompleksitas bintang dari grafik sec1.7.2.

vzn
sumber