Apakah ada pemisahan alami dalam hierarki waktu nondeterministik?

Teorema Hierarki Waktu Nondeterministik asli adalah karena Cook (tautannya ke S. Cook, Sebuah hierarki untuk kompleksitas waktu nondeterministik , JCSS 7 343-353, 1973). Teorema menyatakan bahwa untuk bilangan real dan , jika maka NTIME ( ) secara ketat terkandung dalam NTIME ( ).$r_1$ 1 ≤ r 1 < r 2 n r 1 n r $r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

Satu bagian kunci dari bukti menggunakan diagonalisasi (yang tidak ditentukan) untuk membangun bahasa yang terpisah dari unsur-unsur kelas yang lebih kecil. Bukan saja argumen ini tidak konstruktif, tetapi bahasa yang diperoleh dengan diagonalisasi biasanya tidak memberikan wawasan selain pemisahan itu sendiri.

Jika kita ingin memahami struktur hierarki NTIME, pertanyaan berikut mungkin perlu dijawab:

Apakah ada bahasa alami dalam NTIME ( ) tetapi tidak dalam NTIME ( )? n $n^{k+1}$$n^k$

Satu kandidat mungkin adalah k-ISOLATED SAT , yang membutuhkan penemuan solusi untuk formula CNF tanpa solusi lain dalam jarak Hamming k. Namun, membuktikan batas bawah tampaknya adalah rumit, seperti biasa. Hal ini jelas bahwa memeriksa sebuah Hamming k-bola jelas solusi potensial "harus" membutuhkan $\Omega(n^k)$ tugas yang berbeda untuk diperiksa, tapi ini tidak berarti mudah untuk membuktikan . (Catatan: Ryan Williams menunjukkan batas bawah ini untuk $k$ -ISOLASI SAT akan benar-benar membuktikan P ≠ NP, jadi masalah ini tampaknya bukan kandidat yang tepat.)

Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku tanpa syarat, terlepas dari pemisahan yang tidak terbukti seperti P vs NP. Jawaban afirmatif untuk pertanyaan ini karena itu tidak akan menyelesaikan P vs NP, kecuali jika memiliki sifat tambahan seperti -ISOLATED SAT di atas. $k$ Pemisahan alami NTIME mungkin akan membantu untuk menerangi bagian dari perilaku "sulit" NP, bagian yang memperoleh kesulitannya dari urutan kekerasan yang terus meningkat.

Karena batas bawah sulit, saya akan menerima sebagai jawaban bahasa alami yang kami mungkin punya alasan bagus untuk percaya batas bawah, meskipun mungkin belum ada bukti. Misalnya, jika pertanyaan ini tentang DTIME, maka saya akan menerima -CLIQUE, untuk fungsi yang tidak berkurang f ( x ) ∈ Θ ( x ) , sebagai bahasa alami yang mungkin menyediakan pemisahan yang diperlukan, berdasarkan sirkuit batas bawah Razborov dan Rossman ini dan n 1 - ε -inapproximability dari CLIQUE.$f(k)$$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(Diedit untuk menanggapi komentar Kaveh dan jawaban Ryan.)

Sejauh yang saya tahu, kita tidak tahu bahasa seperti itu, atau jika kita tahu, ada kontroversi yang signifikan tentang "kealamian" dari mereka. Saya tahu ini bukan jawaban yang memuaskan, tetapi saya dapat mengatakan:

(a) Jika Anda membuktikan waktu batas bawah untuk k-ISOLASI SAT untuk setiap k , maka Anda telah benar-benar terbukti P ≠ N P .$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(B) Salah satu cara Anda mungkin berharap untuk menunjukkan bahwa k-ISOLASI SAT adalah salah satu masalah alami ini dalam adalah menunjukkan bahwa k-ISOLASI Masalah SAT sulit (dalam arti formal, formal memiliki pengurangan yang efisien) untuk N T I M E [ n k ] . Sebenarnya ini adalah satu-satunya cara kita tahu bagaimana membuktikan hasil seperti itu. Tapi k-ISOLATED SAT mungkin tidak sulit dalam hal ini, ada beberapa konsekuensi yang sangat tidak mungkin.$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

Alasan utama adalah bahwa instance SAT k-ISOLASI dapat dipecahkan dalam , terlepas dari k . Anda dapat menebak tugas yang terisolasi secara eksistensial, kemudian secara universal memverifikasi (untuk semua O ( log ( ∑ k i = 1 ($\Sigma_2 TIME[n]$$k$cara untuk membalikkan kebitkdalam tugas) bahwa tidak ada tugas "lokal" lainnya yang berfungsi.$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

Ini adalah bukti bagian (a). Biarkan SAT ISOLATED menjadi versi dari masalah dengan diberikan sebagai bagian dari input (dalam unary, katakanlah). Misalkan kita membuktikan bahwa SAT ISOLASI memerlukan waktu Ω ( n k ) untuk semua k . Jika P = N P , maka Σ 2 T I M E [ n ] ada di T I M E [ n c ] untuk beberapa c tetap (buktinya menggunakan versi efisien teorema Cook: jika ada algoritma SAT yang berjalan dalam waktu n $k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$, maka sudah mencukupi). Tapi kami membuktikan bahwa ada bahasa di Σ 2 T Saya M E [ n ] yang tidak di T I M E [ n k ] untuk setiap k . Ini adalah kontradiksi, sehingga P ≠ N P .$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$$P \neq NP$

$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$